Vybrané kapitoly z matematiky I (FSI-T1K)

Akademický rok 2023/2024
Garant: prof. RNDr. Miloslav Druckmüller, CSc.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Cíle předmětu:

Kurs rozšiřuje základní kurs matematické algebry a analýzy o vybrané oblasti nutné ve fyzikálních aplikacích.
Výstupy studia a kompetence:

Základy funkcionální analýzy, metrické, vektorové a unitární prostory, Hilbertův prostor, ortogonální systémy funkcí, Fourierovy řady, ortogonální transformace, Fourierova transformace, fyzikální aplikace uvedených oblastí
Prerekvizity:
Analýza v reálném a komplexním oboru
Obsah předmětu (anotace):
Kurs obsahuje vybrané kapitoly z funkcionální analýzy nutné pro fyzikální aplikace. Zabývá se prostory funkcí, ortogonálními systémy funkcí a ortogonálními transformacemi a jejich aplikacemi ve fyzice.
Metody vyučování:
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.
Způsob a kritéria hodnocení:

Zápočet na základě testu
Zkouška písemná  i ústní
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
Nahrazení zameškané výuky je možné absolvováním testu.
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  13 × 2 hod. nepovinná                  
    Cvičení  13 × 1 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška

1. Relace, ekvivalence, faktor množina, grupa izomorfizmus
2. Metrický prostor, úplný metrický prostor, zúplnění
3. Kontrakce, Banachova věta a její aplikace
4. Vektorový prostor, báze, dimenze, izomorfizmus
5. Automorfizmus vektorových prostorů, vlastní vektory a vlastní čísla
6. Normovaný prostor, unitární prostor
7. Ortogonální a ortonormální báze, isomorfizmus
8. Hilbertův prostor, isomorfizmus, prostory L2 a l2
9. Ortonormální báze fukcí, Fourierovy řady
10. Komplexní tvar Fourierovy řady, diskrétní Fourierova transformace
11. Užití Fourierovy transformace, věta o konvoluci
12. Prostor L2 pro funkce více proměnných
13. Operátory a funkcionály na Hilbertově prostoru


 
    Cvičení

1. Relace, ekvivalence, faktor množina, grupa izomorfizmus
2. Metrický prostor, úplný metrický prostor, zúplnění
3. Kontrakce, Banachova věta a její aplikace
4. Vektorový prostor, báze, dimenze, izomorfizmus
5. Automorfizmus vektorových prostorů, vlastní vektory a vlastní čísla
6. Normovaný prostor, unitární prostor
7. Ortogonální a ortonormální báze, isomorfizmus
8. Hilbertův prostor, isomorfizmus, prostory L2 a l2
9. Ortonormální báze fukcí, Fourierovy řady
10. Komplexní tvar Fourierovy řady, diskrétní Fourierova transformace
11. Užití Fourierovy transformace, věta o konvoluci
12. Prostor L2 pro funkce více proměnných
13. Operátory a funkcionály na Hilbertově prostoru


 
Literatura - základní:
1. Kolmogorov,A.N.,Fomin,S.V.: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, SNTL Praha 1975
2. Lang, S. Real and Functional Analysis. Third Edition, Springer-Verlag 1993
Literatura - doporučená:
1. Kolmogorov,A.N.,Fomin,S.V.: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, SNTL Praha 1975
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
B-FIN-P prezenční studium --- bez specializace -- zá,zk 3 Povinný 1 2 L