Seminář z aplikované matematiky (FSI-0AM)

Cílem předmětu je studentům podrobněji ukázat uplatnění základního matematického aparátu ve fyzice, technické mechanice i jiných oborech. Úkolem je studenty naučit analyticky řešit vybrané úlohy pro parciální diferenciální rovnice a analyzovat nelineární obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy, které se vyskutují v různých matematických modelech.

Po absolvování předmětu studenti zvládnou analyticky řešit vybrané úlohy pro parciální diferenciální rovnice a pochopí souvislosti s úlohami z jiných oblastí matematiky. Budou schopni posoudit otázku stability a typu ekvilibrií nelineárních autonomních soustav a chování řešení v jejich okolí. Na vybraných úlohách z fyziky, mechaniky i jiných disciplín se seznámí s možnostmi matematického modelování pomocí obyčejných diferenciálních rovnic a s analýzou získaných rovnic.

Lineární algebra, diferenciální počet, integrální počet, řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic a jejich soustav.

Vazby k jiným předmětům:
doporučená prerekvizita: Matematika II-B [BM]
doporučená prerekvizita: Matematika III [3M]
povinná prerekvizita: Matematický seminář [S3M]
doporučená prerekvizita: Matematická analýza III [SA3]

Předmět navazuje na kurzy Matematika I, II, III a seznámí studenty s možnostmi využití základního matematického aparátu při matematickém modelování ve fyzice, mechanice a jiných technických oborech. V rámci semináře budou vybrány úlohy, s nimiž se studenti již dřive setkali, a ty budou podrobněji diskutovány z pohledu matematiky. Dále budou ukázány možnosti matematického modelování pomocí diferenciálních rovnic a způsoby analýzy získaných rovnic.

Předmět je vyučován formou kombinace přednášky a cvičení s důrazem na vzájemnou spolupráci a diskuzi.

Podmínka udělění zápočtu: Aktivní účast ve výuce.

Tolerovaná absence po dohodě s vyučujícím.

Po domluvě se studenty budou postupně vybírána některá z následujících témat:

Parciální diferenciální rovnice 1. řádu, transportní rovnice.

Sturmova-Liouvilleova úloha pro obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu.

Vedení tepla v tyči, rovnice difuze.

Vlnová rovnice, charakteristiky, řešení počáteční úlohy.

Besselova rovnice, Besselovy funkce.

Kmitání struny a kruhové membrány.

Rovnice řetězovky.

Implicitní diferenciální rovnice, obálka jednoparametrického systému křivek.

Eulerova differenciální rovnice v řešení napjatosti tlustostěnných nádob a deformace kruhové desky.

Greenova funkce dvoubodové okrajové úlohy v řešení průhybu nosníku.

Fredholmovost periodické úlohy a vzpěrná stabilita prutů.

Planární autonomní soustavy ODR: Stabilita a klasifikace ekvilibrií, fázový portrét.

Lineární kmitání s 1 stupněm volnosti, různé druhy tlumení.

Duffingova rovnice, Jacobiho eliptické funkce.

Nelineární kmitání s 1 stupněm volnosti.

Lineání kmitání s dvěma stupni volnosti.

Modely populační dynamiky.

Modelování pohubu dislokací v krystalech.