Matematika - Vybrané statě (FSI-RMA)

Akademický rok 2023/2024
Garant: prof. RNDr. Miloslav Druckmüller, CSc.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Cíle předmětu:

Kurz rozšiřuje základní kurz matematické algebry a analýzy o vybrané oblasti potřebné při studiu mechaniky a příbuzných oborů.
Výstupy studia a kompetence:
Základy funkcionální analýzy, vektorové, unitární prostory, Hilbertův prostor, ortogonální systémy funkcí, Fourierovy řady, ortogonální transformace, Fourierova transformace a analýza spekter, fyzikální aplikace uvedených oblastí, variační metody
Prerekvizity:

Matematická analýza a lineární algebra v rozsahu prvních dvou ročníků studia.
Obsah předmětu (anotace):

Kurz obsahuje vybrané kapitoly z matematiky určené speciálně pro studenty mechaniky, mechatroniky a příbuzných oborů. Hlavní důraz je kladen na práci s funkcemi (prostory funkcí, ortogonálními systémy funkcí a ortogonálními transformacemi), dále pak numerické metody používané v mechanice.
Metody vyučování:
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.
Způsob a kritéria hodnocení:

Klasifikovaný zápočet na základě písemného testu.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:

Nahrazení zameškané výuky je možné absolvováním testu.
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  13 × 2 hod. nepovinná                  
    Cvičení  13 × 2 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška

1. Úvod, relace, ekvivalence, faktor množina
2. Metrický prostor, úplný metrický prostor
3. Kontrakce, Banachova věta a její aplikace
4. Vektorový prostor, báze, dimenze, izomorfizmus
5. Automorfizmy vektorových prostorů, vlastní vektory a vlastní čísla
6. Unitární prostor, ortogonální a ortonormální báze, isomorfizmus
7. Hilbertův prostor, prostory L2 a l2
8. Ortonormální báze fukcí, Fourierovy řady
9. Komplexní tvar Fourierovy řady, diskrétní Fourierova transformace
10. Užití Fourierovy transformace, věta o konvoluci
11. Prostor L2 pro funkce více proměnných
12. Operátory a funkcionály na Hilbertově prostoru
13. Aplikace
    Cvičení

1. Opakování vybraných partií
2. Metrický prostor, úplný metrický prostor
3. Kontrakce, Banachova věta a její aplikace
4. Vektorový prostor, báze, dimenze, izomorfizmus
5. Automorfizmy vektorových prostorů, vlastní vektory a vlastní čísla
6. Unitární prostor, ortogonální a ortonormální báze, isomorfizmus
7. Hilbertův prostor, prostory L2 a l2
8. Ortonormální báze fukcí, Fourierovy řady
9. Komplexní tvar Fourierovy řady, diskrétní Fourierova transformace
10. Užití Fourierovy transformace, věta o konvoluci
11. Prostor L2 pro funkce více proměnných
12. Operátory a funkcionály na Hilbertově prostoru
13. Aplikace


 
Literatura - základní:
1. Kolmogorov,A.N.,Fomin,S.V.: Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis, Graylock Press, 1957, 1961, 2002
2. Rektorys, K.: Variační metody, Academia Praha, 1999
3. Bachman,G., Laerence, N.: Functional analysis, Dover Pub., 1966,2000
Literatura - doporučená:
1. Kolmogorov,A.N.,Fomin,S.V.: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, SNTL Praha 1975
2. Rektorys, K.: Variační metody, Academia Praha, 1999
3. Veit, J. Integrální transformace: SNTL, Praha 1979
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
N-MET-P prezenční studium --- bez specializace -- kl 5 Povinný 2 1 Z
N-PMO-P prezenční studium --- bez specializace -- kl 5 Povinně volitelný 2 1 Z
N-IMB-P prezenční studium BIO Biomechanika -- kl 5 Povinně volitelný 2 1 Z
N-IMB-P prezenční studium IME Inženýrská mechanika -- kl 5 Povinný 2 1 Z