Numerické metody (FSI-DNU)

Akademický rok 1999/2000
Garant: doc. RNDr. Libor Čermák, CSc.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Cíle předmětu:
Cílem předmětu Numerické metody je seznámit studenty se základními
postupy řešení vybraných numerických problémů a vybavit je schopností
samostatně tyto problémy řešit jak "ručně" tak pomocí pomocí počítače.
Studenti by měli pochopit, že teprve znalost podstatných vlastností
jednotlivých numerických metod jim umožní efektivní volbu vhodné
metody a odpovídajícího softwarového produktu.
Výstupy studia a kompetence:
Předmět Numerické metody seznámí studenty se základní kolekcí úloh
numerické matematiky. Poukáže na záludnosti numerických výpočtů
(chyby, stabilita), uvede studenty do problematiky řešení lineárních a
nelineárních rovnic, seznámí je s interpolací, aproximací, numerickým
derivováním a integrováním , s nepodmíněnou optimalizací a s řešením
počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice. Jednoduché
úlohy zvládne student spočítat "ručně", složitější na počítači.
Prerekvizity:
 
Obsah předmětu (anotace):
Předmět Numerické metody má seznámit studenty se základními postupy řešení vybraných numerických problémů, které se často vyskytují při řešení praktických technických úloh. Pochopení podstaty probíraných numerických algoritmů si studenti ověří a prohloubí samostatným řešením úloh u počítače tak, že kvalifikovaně použijí hotový numerický software a některé algoritmy si také sami naprogramují.Úvod do problematiky numerické matematiky. Řešení jedné nelineární rovnice. Řešení dvou (a více) nelineárních rovnic. Řešení soustav lineárních rovnic. Interpolace, aproximace, numerické derivování a integrování funkce jedné proměnné. Nepodmíněná optimalizace funkcejedné a dvou (více) proměnných. Řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice.
Metody vyučování:
 
Způsob a kritéria hodnocení:
Podmínky pro udělení zápočtu.
Účast ve cvičení, úpěšné absolvování dvou kontrolních písemných
prací a odevzdání semestrální práce s alespoň dvěma úkoly.
Zkouška.
Základem zkoušky je její písemná část. Student vyřeší 5 příkladů (za
každý může získat maximálně 3 body) a odpoví několik teoretických
otázek (lze získat nejvýše 5 bodů).
Klasifikační hodnocení písemky: výborně (18-20 bodů), velmi dobře
(14-17 bodů), dobře (9-13 bodů), nevyhověl (0-8 bodů).
Podle uvážení zkoušejícího lze zkoušku doplnit i o ústní část.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
 
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  14 × 2 hod. nepovinná                  
    Cvičení odborného základu  14 × 2 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška 1. Úvod do problematiky numerické matematiky.
Numerický problém, chyby, stabilita.
Řešení jedné nelineární rovnice f(x)=0.
Separace kořenů, metoda půlení intervalů, metoda regula falsi.
2 Řešení jedné nelineární rovnice f(x)=0 - pokračování.
Newtonova metoda, metoda sečen, modifikovaná Newtonova
metoda, metoda prosté iterace.
3. Řešení soustav lineárních rovnic.
Podmínky řešitelnosti, špatně podmínněná soustava rovnic.
Přímé metody : Gaussova eliminační metoda, Jordanova metoda,
částečný a úplný výběr hlavního prvku, výpočet determinantu a
matice inverzní.
4. Řešení soustav lineárních rovnic - pokračování.
Iterační metody : Jacobiova a Gaussova-Seidelova metoda.
5. Řešení soustav nelineárních rovnic.
Metoda prosté iterace, Newtonova metoda.
Aproximace funkcí jedné proměnné.
Lagrangeův interpolační polynom.
6. Aproximace funkcí jedné proměnné - pokračování.
Hermitův interpolační polynom. Interpolace po částech : lineární
splajn, kubický Hermitův splajn.
7. Aproximace funkcí jedné proměnné - pokračování.
Klasický kubický splajn. Metoda nejmenších čtverců (i pro
nepolynomické bázové funkce).
8. Numerické derivování.
Základní formule, chyby.
Numerické integrování.
Obdélníková, lichoběžníková a Simpsonova formule, přesnost.
9. Numerické integrování - pokračování.
Složené formule numerického integrování.
Jednorozměrná nepodmíněná optimalizace.
Metoda půlení intervalů, metoda zlatého řezu,
metoda kvadratické interpolace, Newtonova metoda.
10. Vícerozměrná nepodmíněná optimalizace.
Simplexová metoda, metoda souřadnicových směrů.
11. Vícerozměrná optimalizace - pokračování.
Metoda největšího spádu, Newtonova metoda.
12. Počáteční problémy pro obyčejné diferenciální úlohy.
Jednokrokové explicitní metody Rungova-Kuttova typu.
13. Počáteční problémy pro obyčejné diferenciální - pokračování.
Lineární mnohokrokové metody Adamsova typu, technika
prediktor-korektor.
14. Počáteční problémy pro obyčejné diferenciální úlohy - pokračování.
Stabilita, A-stabilní metody : theta-metoda, metoda zpětného
derivování. Metoda centrálních diferencí pro rovnici 2-ho řádu.
    Cvičení odborného základu 1 - 2. Odpovídá přednášce 1 a 2.
Umět provést několik kroků metody půlení intervalů, metody
regula falsi, Newtonovy metody, metody sečen, modifikované
Newtonovy metody a metody prosté iterace.
Práce s programem KOREN.
3 - 4. Odpovídá přednášce 3 a 4.
Umět vyřešit soustavu lineárních rovnic přímou metodou s
částečným nebo úplným výběrem hlavního prvku a pomocí
Gaussovy eliminační metody vypočítat determinant a pomocí
Jordanovy metody matici inverzní. Dále umět provést několik
kroků Jacobiovou a Gaussovou-Seidelovou metodou.
Práce s programem SLR.
5 - 6. Odpovídá přednášce 5 a 6.
Umět spočítat několik kroků řešení soustavy 2 nelineárních
rovnic Newtonovou metodou a metodou prosté iterace.
Konstrukce Lagrangeova a Hermitova interpolačního polynomu.
Určení kubického Hermitova splajnu.
Práce s programem SNR, APROX.
7 - 8. Odpovídá přednášce 7 a 8.
Určení klasického kubického splajnu. Aproximace metodou
nejmenších čtverců (2 - 3 bázové funkce, například 1,x,
případně x^2 nebo 1,1/x nebo 1,exp(-x) atp.).
Umět odvodit a použít základní formule numerického derivování.
Práce s programem APROX.
9 - 10. Odpovídá přednášce 9 a 10.
Výpočet integrálu pomocí obdélníkové, lichoběžníkové a
Simpsonovy formule.
Umět provést několik kroků metodou půlení intervalů a metodou
zlatého řezu pro určení minima funkce jedné proměnné.
Porozumět algoritmu simplexové metody a metody
souřadnicových směrů.
Práce s programem KVAFO, OPTIM1.
11 - 12. Odpovídá přednášce 11 a 12.
Umět provést několik kroků metody největšího spádu a
Newtonovy metody pro určení minima funkce 2 proměnných.
Řešení počáteční úlohy pro jednu nebo dvě ODR 1-ho řádu
probranými jednokrokovými metodami. Provádět 2-3 kroky.
Práce s programem OPTIM2 a ODR1.
13 - 14. Odpovídá přednášce 13 a 14.
Řešení počáteční úlohy pro jednu ODR 1-ho řádu probranými
vícekrokovými metodami a metodou prediktor-korektor.
Řešení počáteční úlohy pro ODR 1-ho řádu implicitní
Eulerovou metodou a lichoběžníkovou metodou.
Řešení počáteční úlohy pro ODR 2-ho řádu :
převodem na 2 rovnice řádu prvního a jejich následným
řešením například lichoběžníkovou metodou nebo
metodou centrálních diferencí.
Provádět 2-3 kroky.
Práce s programem ODR1 a ODR2.
Literatura - základní:
1. J. H. Mathews: Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engineering, , 0
2. E. Vitásek: Numerické metody, , 0
3. B. D. Bunday: Basic Optimisation Methods, , 0
Literatura - doporučená:
1. B. Maroš, M. Marošová: Základy numerické matematiky, , 0
2. L. Čermák: Numerické metody, , 0
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
B2341-3 prezenční studium Stavba strojů a zařízení -- zá,zk 4 Volitelný 1 2 L