Numerické metody III (FSI-SN3)

Akademický rok 1999/2000
Garant: prof. RNDr. Alexander Ženíšek, DrSc.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Cíle předmětu:
Cílem předmětu je seznámit studenty se základy teorie metody konečných
prvků, aby byli schopni samostatně studovat práce a knihy v tomto oboru
a příbuzných oborech. Dalším cílem je získání výpočetní praxe v metodě
konečných prvků na počítači.
Výstupy studia a kompetence:
Teorie Soboleových prostorů, teorie interpolace na konečných prvcích
a teorie numerické integrace na konečných prvcích jsou základními
matematickými prostředky metody konečných prvků. Práce na počítači
s lineárním polynomem na trojúhelníku je základem výpočetní praxe
v metodě konečných prvků.
Prerekvizity:
 
Obsah předmětu (anotace):
Obsahem předmětu Numerické metody III jsou matematické základy metody
metody konečných prvků. Samotnému výkladu předchází úvod do teorie
Soboleových prostorů, které tvoří základ matematického aparátu.
V přednášce je tak vyložen pojem slabého řešení okrajového problému
eliptické parciální diferenciální rovnice a konstrukce jeho aproximace
metodou konečných prvků. Jsou dále probírány různé typy konečných
prvků, teorie interpolace a numerické integrace v metodě konečných
prvků. Je analyzována konvergence různých přibližných řešení.
Metody vyučování:
 
Způsob a kritéria hodnocení:
Podmínky udělení zápočtu: Účast ve cvičeních;
všechny absence lékařsky či úředně omluvené;
vypracování písemné práce
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
 
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  14 × 3 hod. nepovinná                  
    Cvičení odborného základu  14 × 2 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška Přednáška:
1. Některé poznatky z funkcionální analýzy. Motivace zavedení Soboleových
prostorů. Prostor W^k_2(O).
2. Příklady funkcí z W^1_2(O). Stopy funkcí z prostoru W^k_2(O).
Friedrichsova nerovnost a Poncareho nerovnost.
3. Další příklady funkcí z W^1_2(O). Bramble-Hilbertovo lemma.
Soboleova věta o vnoření.
4. Formální ekvivalence eliptického okrajového problému a příslušného
variačního problému. Existence a jednoznačnost řešení variačního problému.
5. První konstrukce trojúhelníkových konečných prvků. Interpolační věty
(prozatím bez důkazu). Konečněprvkové prostory X^(n)_h.
6. Definice přibližného řešení. Věta o existenci a jednoznačnosti
přibližného řešení. Přibližné řešení jako řešení soustavy lineárních
algebraických rovnic.
7. Konečněprvkový prostor X^(3,H)_h generovaný hermiteovským polynomem
3. stupně na trojúhelníku.
8. Transformace trojúhelníku na referenční trojúhelník. Vztahy mezi
normami na obecném trojúhelníku a referenčním trojúhelníku.
9. Interpolační teorémy pro lagrangeovské a hermiteovské trojúhelníkové
prvky (s důkazy).
10.Numerická integrace v metodě konečných prvků v případě Dirichletovy
okrajové podmínky na celé hranici oblasti.
11.Dokončení tématu z přednášky 10.
12.Teorie numerické integrace v případě nehomogenní Neumannovy okrajové
podmínky.
13.Trojúhelníkové konečné C^m - prvky.
14.Metoda konečných prvků v oblastech s nepolygonální hranicí. Poznámka
o trojrozměrných prvcích.
    Cvičení odborného základu Cvičení:
1. Prutové soustavy namáhané tahem/tlakem I. (MATLAB)
2. Prutové soustavy namáhané tahem/tlakem II. (MATLAB)
3. Prutové soustavy namáhané tahem/tlakem a ohybem I. (MATLAB)
4. Prutové soustavy namáhané tahem/tlakem a ohybem II.(MATLAB)
5. PDE-toolbox, úvodní seznámení. (PDE-toolbox)
6. PDE-toolbox, další podrobnosti. (PDE-tolbox)
7. Poissonova rovnice I, algoritmus. (PDE-toolbox)
8. Poissonova rovnice II, program. (PDE-toolbox)
9. Stacionární vedení tepla I, algoritmus. (PDE-toolbox)
10.Stacionární vedení tepla II, program. (PDE-toolbox)
11.Nestacionární vedení tepla. (PDE-toolbox)
12.Kmitání membrány. (PDE-toolbox)
13.Rovinná pružnost. (PDE-toolbox)
14.Kontrola úkolů, zápočet.
Cvičení slouží jako počítačová podpora teoretického výkladu obsaženého
v přednáškách. Cvičení probíhají u počítačů a využívají vývojového
prostředí MATLABu a jeho toolboxu PDE (partial differential equations).
Prvá cvičení používají MATLAB pro výpočty založené na MKP v 1D.
Zbývající cvičení naučí posluchače pracovat s 2D aplikacemi MKP
obsaženými v toolboxu PDE. Získané znalosti studenti osvědčí
vapracováním 2 samostatných prací.
Literatura - doporučená:
2. Kolář, V. - Kratochvíl, J. - Leitner, F - Ženíšek, A.:: Výpočet plošných a prostorových konstrukcí metodou konečných prvků., , 0
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
M2301-5 prezenční studium Matematické inženýrství -- zá,zk 6 Povinný 2 1 Z