Algebra a geometrie (FSI-SB1)

Akademický rok 1999/2000
Garant: doc. RNDr. Jiří Karásek, CSc.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Cíle předmětu:
Seznámit studenty s logickou výstavbou matematiky pomocí množinového
jazyka a se základy maticové analýzy tak, aby byli schopni provést
kompletní diskusi systému lineárních rovnic.
Výstupy studia a kompetence:
Student se naučí dokazovat množinové rovnosti, příp. inkluze, provádět
úvahy v obecných algebraických strukturách a počítat s vektory v
abstraktním vektorovém prostoru. Student bude také schopen upravovat
maticové výrazy a řešit systémy lineárních rovnic.
Prerekvizity:
 
Obsah předmětu (anotace):
Množiny: logická výstavba matematiky, základní pojmy z teorie množin,
zobrazení množin, relace na množině, kardinální čísla.
Algebraické operace: grupoidy, vektorové prostory, matice
a maticové operace.
Základy lineární algebry: determinanty, matice ve schodovitém tvaru
a hodnost matice, systém lineárních rovnic.
Metody vyučování:
 
Způsob a kritéria hodnocení:
Podmínky udělení zápočtu:
Absolvování cvičení, v případě větší absence vykonání náhradních úloh
podle pokynů vedoucího cvičení. Splnění podmínek průběžné kontroly
(průběžné kontrolní písemné práce) a podmínek závěrečné zápočtové
písemné práce.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
 
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  14 × 2 hod. nepovinná                  
    Cvičení odborného základu  14 × 2 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška 1. Základní pojmy z teorie množin: pojem množiny, podmnožina, nadmnožina,
množinová operace, rovnost množin, systémy množin, potenční množina,
komplement množiny, de Morganova pravidla.
2. Základní pojmy zobrazení množin: pojem zobrazení z množiny do
množiny, injektivní a surjektivní zobrazení, bijekce, inverzní
zobrazení, skládání zobrazení.
Pojem relace: obecná definice, reflexivní, symetrická, antisymetrická
transitivní, úplná relace.
3. Uspořádání, lineární uspořádání, relace ekvivalence, rozklad na
množině, vztah mezi ekvivalencí a rozkladem. Volný vektor.
4. Russelův paradox v teorii množin - pojem třídy. Algebraické operace:
grupoid, pologrupa - základní věta pologrup, neutrální prvek, inverzní
prvek.
5. Věty o inverzních prvcích. Pojem grupy. Podgrupoid, podgrupa.
6. Vektorové prostory: definice, lineární kombinace, lineární závislost
a nezávislost vektorů, podprostory.
7. Báze a dimenze vektorového prostoru, izomorfismus vektorových
prostorů, klasifikace konečně-dimenzionálních prostorů.
8. Matice nad R, maticové operace.
9. Determinant čtvercové matice. Laplaceův rozvoj. Inverzní matice.
10. Převod matice na schodovitý tvar. Hodnost matice.
11. Soustava lineárních rovnic. Gaussova eliminační metoda. Frobeniova
věta.
12. Cramerovox pravidlo, zobecněné Cramerovo pravidlo pro řešitelnou
soustavu lineárních rovnic.
13. Základní pojmy z teorie okruhů: komutativní okruh, okruh s jedničkou,
dělitelné nuly, obor integrity, podokruh.
14. Okruh matic.
    Cvičení odborného základu 1. Základní pojmy výrokového počtu. Rovnosti množin.
2. Důkaz de Morganových pravidel pro obecné systémy množin, rovnosti
množin při použití komplementu množiny.
3. Cvičení na zobrazení množin, spočetné množiny.
4. Kardinální čísla, relace nerovnosti pro kardinální čísla.
Bernsteinova věta, kardinální číslo potenční množiny, mohutnost
kontinua.
5. Relace.
6. Algebraické operace, grupa, kompexní čísla.
7. Vektorový prostor nad R, lineární kombinace, lineární závislest
a nezávislost, podprostory.
8. Báze a dimenze vektorového prostoru, izomorfismus.
9. Maticové operace.
10. Determinant čtvercové matice. Inverzní matice.
11. Převod matice na schodovitý tvar. Hodnost matice.
12. Gaussova eliminační metoda, Frobeniova věta.
13. Cramerovo a zobecněné Cramerovo pravidlo.
14. Okruhy, obory integrity, podokruhy, okruh matic.
Literatura - základní:
1. Nicholson, W.K.: Elementary Linear Algebra with Applications , , 0
2. Searle, S.R.: Matrix Algebra Useful for Statistics, , 0
3. Borůvka, O.: Základy teorie grupoidů a grup, , 0
Literatura - doporučená:
1. Skula, L.: Úvod do teorie množin a algebraických operací, , 0
2. Horák, P.: Algebra a teoretická aritmetika I., , 0
3. Procházka, Z. a kol.: Algebra, , 0
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
M2301-5 prezenční studium Matematické inženýrství -- zá,zk 5 Povinný 1 1 Z