Numerická matematika (FSI-ZNM)

Akademický rok 1999/2000
Garant: doc. RNDr. Libor Čermák, CSc.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Cíle předmětu:
Cílem předmětu Numerická matematika je seznámit studenty se základními
postupy řešení vybraných numerických problémů a vybavit je schopností
samostatně tyto problémy řešit jak "ručně" tak pomocí počítače.
Studenti by měli pochopit, že teprve znalost podstatných vlastností
jednotlivých numerických metod jim umožní efektivní volbu vhodné
metody a odpovídajícího softwarového produktu.
Výstupy studia a kompetence:
Předmět Numerická matematika seznámí studenty se základní kolekcí úloh
numerické matematiky. Poukáže na záludnosti numerických výpočtů
(chyby, stabilita), uvede studenty do problematiky řešení lineárních a
nelineárních rovnic, seznámí je s interpolací, aproximací, numerickým
derivováním a integrováním a s nepodmíněnou optimalizací. Jednoduché
úlohy zvládne student spočítat "ručně", složitější na počítači.
Prerekvizity:
 
Obsah předmětu (anotace):
Předmět Numerická matematika má seznámit studenty se základními postupy
řešení vybraných numerických problémů, které se často vyskytují při
řešení praktických technických úloh. Pochopení podstaty probíraných
numerických algoritmů si studenti ověří a prohloubí samostatným řešením
úloh u počítače tak, že kvalifikovaně použijí hotový numerický software a
některé algoritmy si také sami naprogramují.
Úvod do problematiky numerické matematiky. Řešení jedné nelineární
rovnice. Řešení dvou (a více) nelineárních rovnic. Řešení soustav
lineárních rovnic. Interpolace, aproximace, numerické derivování a
integrování funkce jedné proměnné. Nepodmíněná optimalizace funkce
jedné a dvou (více) proměnných.
Metody vyučování:
 
Způsob a kritéria hodnocení:
Podmínky pro udělení zápočtu.
Účast ve cvičení, úpěšné absolvování dvou kontrolních písemných
prací a odevzdání semestrální práce s alespoň dvěma úkoly.
Zkouška.
Základem zkoušky je její písemná část. Student vyřeší 5 příkladů (za
každý může získat maximálně 3 body) a odpoví několik teoretických
otázek (lze získat nejvýše 5 bodů).
Klasifikační hodnocení písemky: výborně (18-20 bodů), velmi dobře
(14-17 bodů), dobře (9-13 bodů), nevyhověl (0-8 bodů).
Podle uvážení zkoušejícího lze zkoušku doplnit i o ústní část.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
 
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  14 × 1 hod. nepovinná                  
    Cvičení na počítači  14 × 2 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška Tématika je vyložena v 7 dvouhodinových přednáškách.
1. Úvod do problematiky numerické matematiky.
Numerický problém, chyby, stabilita.
Řešení jedné nelineární rovnice f(x)=0.
Separace kořenů, metoda půlení intervalů, metoda regula falsi,
Newtonova metoda, metoda sečen, modifikovaná Newtonova
metoda, metoda prosté iterace.
2. Řešení soustav lineárních rovnic.
Podmínky řešitelnosti, špatně podmínněná soustava rovnic.
Přímé metody : Gaussova eliminační metoda, Jordanova metoda,
částečný a úplný výběr hlavního prvku, výpočet determinantu a
matice inverzní.
Iterační metody : Jacobiova a Gaussova-Seidelova metoda.
3. Řešení soustav nelineárních rovnic.
Metoda prosté iterace, Newtonova metoda.
Aproximace funkcí jedné proměnné.
Lagrangeův a Hermitův interpolační polynom.
4. Aproximace funkcí jedné proměnné - pokračování.
Interpolace po částech : lineární splajn, kubický Hermitův splajn a
klasický kubický splajn.
Metoda nejmenších čtverců (i pro nepolynomické bázové funkce).
5. Numerické derivování.
Základní formule, chyby.
Numerické integrování.
Obdélníková, lichoběžníková a Simpsonova formule, přesnost.
6. Jednorozměrná nepodmíněná optimalizace.
Lokalizace extrému, metoda půlení intervalů, metoda zlatého řezu,
metoda kvadratické interpolace, Newtonova metoda.
Vícerozměrná nepodmíněná optimalizace.
Simplexová metoda, metoda souřadnicových směrů.
7. Vícerozměrná optimalizace - pokračování.
Metoda největšího spádu, Newtonova metoda.
Rezerva přednášejícího.
    Cvičení na počítači 1 - 2. Odpovídá přednášce 1.
Umět provést několik kroků metody půlení intervalů, metody
regula falsi, Newtonovy metody, metody sečen, modifikované
Newtonovy metody a metody prosté iterace.
Práce s programem KOREN.
2 - 4. Odpovídá přednášce 2.
Umět vyřešit soustavu lineárních rovnic přímou metodou s
částečným nebo úplným výběrem hlavního prvku a pomocí
Gaussovy eliminační metody vypočítat determinant a pomocí
Jordanovy metody matici inverzní. Dále umět provést několik
kroků Jacobiovou a Gaussovou-Seidelovou metodou.
Práce s programem SLR.
5 - 6. Odpovídá přednášce 3.
Umět spočítat několik kroků řešení soustavy 2 nelineárních
rovnic Newtonovou metodou a metodou prosté iterace.
Konstrukce Lagrangeova a Hermitova interpolačního polynomu.
Práce s programem SNR, APROX.
7 - 8. Odpovídá přednášce 4.
Určení kubického Hermitova splajnu a klasického kubického
splajnu. Aproximace metodou nejmenších čtverců (2 - 3 bázové
funkce, např. 1, x případně x^2 nebo 1,1/x nebo 1,exp(-x) atp.).
Práce s programem APROX.
9 - 10. Odpovídá přednášce 5.
Umět odvodit a použít základní formule numerického derivování.
Výpočet integrálu pomocí obdélníkové, lichoběžníkové a
Simpsonovy formule.
Práce s programem KVAFO.
11 - 12. Odpovídá přednášce 6.
Umět provést několik kroků metodou půlení intervalů a metodou
zlatého řezu (popřípadě dalšími metodami) pro určení minima
funkce jedné proměnné. Porozumět algoritmu simplexové metody
a metody souřadnicových směrů.
Práce s programem OPTIM1 a OPTIM2.
13 - 14. Odpovídá přednášce 7.
Umět provést několik kroků metody největšího spádu a
Newtonovy metody pro určení minima funkce 2 proměnných.
Práce s programem OPTIM2.
Literatura - základní:
1. J. H. Mathews: Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engineering, , 0
2. G. Dahlquist, A. Bjork: Numerical Methods, , 0
3. B. D. Bunday: Basic Optimisation Methods, , 0
Literatura - doporučená:
1. B. Maroš, M. Marošová: Základy numerické matematiky, , 0
2. J. Dalík: Matematika. Numerické metody, , 0
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
M2301-5 prezenční studium Učitelství matematiky a technické mechaniky SS -- zá,zk 4 Povinný 2 1 L