Matematické metody v teorii proudění (FSI-SMM)

Akademický rok 2019/2020
Garant: doc. RNDr. Libor Čermák, CSc.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Cíle předmětu:
Předmět slouží jako úvodní seznámení s výpočtovými metodami pro modelování proudění tekutin. Pro stlačitelné proudění je vyložena metoda konečných objemů a nespojitá Galerkinova metoda, pro nestlačitelné proudění metoda tlakových korekcí a metoda konečných prvků. Studenti by měli pochopit, že teprve znalost podstatných fyzikálních a matematických aspektů jednotlivých typů proudění jim umožní efektivní volbu vhodné numerické metody resp. odpovídajícího softwarového produktu. Důležitou součástí předmětu je samostatná práce na zadaném projektu.
Výstupy studia a kompetence:
Studenti se seznámí se základními postupy modelování proudění tekutin: fyzikální zákony, matematická analýza rovnic popisujících proudění tekutin (Eulerovy a Navierovy-Stokesovy rovnice), volba vhodné numerické metody (která vychází z fyzikální a matematické podstaty rovnic) a počítačové modelování navržené numerické metody (preprocesing = tvorba sítě, numerický řešič, postprocesing = zobrazení žádáných fyzikálních veličin). Získané znalosti si studenti ověří a prohloubí zpracováním semestrálního projektu.
Prerekvizity:
Parciální diferenciální rovnice evolučního typu, funkcionální analýza, numerické metody řešení parciálních diferenciálních rovnic.
Obsah předmětu (anotace):
Fyzikální základy mechaniky tekutin: zákony zachování hmoty, hybnosti a energie. Vlastnosti hyperbolických rovnic, speciálně Eulerových rovnic popisujících proudění neviskózních stlačitelných tekutin. Numerické modelování Eulerových rovnic metodou konečných objemů a nespojitou Galerkinovou metodou. Nespojitá Galerkinova metoda pro stlačitelné viskózní proudění. Numerické modelování nestlačitelných viskózních tekutin metodou tlakových korekcí (algoritmus SIMPLE) a metodou konečných prvků.
Metody vyučování:
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.
Způsob a kritéria hodnocení:
PODMÍNKY PRO UDĚLENÍ ZÁPOČTU: Účast ve cvičeních, zpracování semestrální práce, ve kterých studenti zúročí poznatky získané na přednáškách. Student, který dostane zápočet, získá také bodové ohodnocení v rozsahu 0 až 30 bodů, které se mu započítá do výsledné klasifikace předmětu.
ZKOUŠKA je ústní. Za zkoušku student obdrží 0 až 70 bodů.
CELKOVÉ HODNOCENÍ: Výsledné bodové hodnocení je součtem bodů získaných od cvičícího (0--30) a od zkoušejícího (0--70).
KLASIFIKACE: 100--90: A (výborně), 89--80: B (velmi dobře), 79--70: C (dobře), 69--60: D (uspokojivě), 59--50: E (dostatečně), 49--0: F (nevyhovující).
HODNOCENÍ je plně v kompetenci zkoušejícího. Jestliže úspěšnost měříme v procentních bodech, pak je klasifikace provedena takto: 100--90: A (výborně), 89--80: B (velmi dobře), 79--70: C (dobře), 69--60: D (uspokojivě), 59--50: E (dostatečně), 49--0: F (nevyhovující).
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
Účast na přednáškách je žádoucí, účast ve cvičeních je povinná. Výuka probíhá podle týdenních rozvrhů. Způsob náhrady zameškané výuky je plně v kompetenci cvičícího.
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  13 × 2 hod. nepovinná                  
    Cvičení s počítačovou podporou  13 × 1 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška 1.Materiálová derivace, transportní věta, zákony zachování hmoty, hybností a energie.
2. Konstituční vztahy, stavové rovnice, Eulerovy a Navierovy-Stokesovy rovnice, počáteční a okrajové podmínky.
3. Akustické rovnice, problém dopravního proudu, problém mělké vody.
4. Hyperbolický problém, klasické a slabé řešení, nespojitosti v řešení.
5. Riemannův problém pro lineární a nelineární úlohu, klasifikace vln.
6. Metoda konečných objemů, lokální chyba, stabilita, konvergence.
7. Godunovova metoda, metody založené na rozkladu vektoru toku: numerický tok Vijayasundaram, Steger-Warming, Van Leer, Roe.
8. Okrajové podmínky, metody druhého řádu.
9. Nespojitá Galerkinova metoda pro stlačitelné neviskózní proudění: princip DGM, diskretizace 2D Eulerových rovnic.
10.Nespojitá Galerkinova metoda pro stlačitelné neviskózní proudění: elementární matice a vektory, sestavování, časová diskretizace.
11. Nespojitá Galerkinova metoda pro 2D stlačitelné viskózní proudění.
12. Metoda konečných objemů pro viskózní nestlačitelné proudění: algoritmus SIMPLE na pravidelné obdélníkové síti.
13. Metoda konečných objemů pro viskózní nestlačitelné proudění: algoritmus SIMPLE na nestrukturované síti.
    Cvičení s počítačovou podporou Ukázky řešení vybraných modelových úloh na počítači. Vypracování semestrální práce.
Literatura - základní:
1. M. Feistauer, J. Felcman, I. Straškraba: Mathematical and Computational Methods for Compressible Flow, Oxford University Press, Oxford, 2003
2. V. Dolejší, M. Feistauer: Discontinuous Galerkin Method, Springer, Heidelberg, 2016.
3. E.F. Toro: Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, A Practical Introduction, Springer, Berlin, 1999.
4. J.H. Ferziger, M. Peric: Computational Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag, New York, 2002.
5. K. H. Versteeg, W. Malalasekera: An Introduction to Computational Fluid Dynamics, Pearson Prentice Hall, Harlow, 2007.
Literatura - doporučená:
1. L. Čermák: Výpočtové metody dynamiky tekutin, dostupné na http://mathonline.fme.vutbr.cz/
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
M2A-P prezenční studium M-MAI Matematické inženýrství -- zá,zk 4 Povinný 2 2 Z