Numerická matematika I (FSI-9NM1)

Akademický rok 2019/2020

Garant:	doc. RNDr. Libor Čermák, CSc.
Garantující pracoviště:	ÚM	všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky:	čeština či angličtina
Cíle předmětu:
Cílem kurzu je seznámit studenty s numerickými metodami lineární algebry, s řešením nelineárních rovnic a s metodami interpolace, numerického derivování a integrování.
Výstupy studia a kompetence:
Studenti získají základní znalosti z numerických metod lineární algebry, nelineárních rovnic, interpolace, derivování a integrování. To jim umožní, aby si správně vybrali z neobyčejně široké nabídky hotových programů nabízených na trhu (výjimečně aby si takový program sami napsali) a aby tyto programy uměli s rozmyslem a efektivně používat při řešemí svých specifických technických problémů.
Prerekvizity:
Lineární algebra, vektorový počet, integrální a diferenciální počet.
Obsah předmětu (anotace):
Úvodní kurz numerických metod se věnuje následujícím tématům: numerické výpočty, přímé a iterační metody řešení lineárních rovnic, interpolace, metoda nejmenších čtverců, numerické derivování a integrování, nelineární rovnice, výpočet vlastních čísel a vektorů.
Metody vyučování:
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny.
Způsob a kritéria hodnocení:
Zkouška je ústní. U zkoušky jsou položeny tři otázky, jedna otázka z okruhu lineární algebry, druhá z nelineárních rovnic a třetí z okruhu interpolace, derivování a integrování.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
Účast na přednáškách je žádoucí, účast ve cvičeních je povinná. Výuka probíhá podle týdenních rozvrhů. Způsob náhrady zameškané výuky je plně v kompetenci cvičícího.
Typ (způsob) výuky:
Přednáška	10 × 2 hod.	nepovinná
Osnova:
Přednáška	Předmět má 10 dvouhodinových přednášek. 1. Úvod do numerické matematiky: základní vlastnosti matic, chyby, podmíněnost problémů a algoritmů. 2. Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic: Gaussova eliminační metoda, pivotování, LU-rozklad, Choleského rozklad, podmíněnost. 3. Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic: klasické iterační metody (Jacobiova, Gaussova-Seidelova, SOR, SSOR), zobecněná metoda minimálních reziduí, metoda sdružených gradientů. 4. Interpolace: Lagrangeův, Newtonův a Hermitův interpolační polynom, interpolační splajny. 5. Metoda nejmenších čtverců: prokládání dat křivkami, řešení přeurčených soustav lineárních rovnic (QR rozklad, pseudoinverze, metody ortogonalizace). 6. Numerické derivování: základní formule, Richardsonova extrapolace. 7. Numerické integrování: Newtonovy-Cotesovy formule, Gaussovy formule, adaptivní integrace. 8. Řešení nelineárních rovnic: jedna rovnice (metoda bisekce, Newtonova metoda, metoda sečen, metoda regula falsi, metoda inverzní kvadratické interpolace, Brentova metoda); soustavy nelineárních rovnic (Newtonova metoda a její modifikace, metoda prosté iterace). 9. Vlasní čísla a vlastní vektory: mocninná metoda, QR metoda. 10. Vlasní čísla a vlastní vektory: Arnoldiho metoda, Jacobiho metoda, metoda bisekce, výpočet singulárního rozkladu.

Literatura - základní:
1. M.T. Heath: Scientific Computing. An Introductory Survey. Second edition. McGraw-Hill, New York, 2002.
2. C.B. Moler: Numerical Computing with Matlab, Siam, Philadelphia, 2004.
3. G. Dahlquist, A. Bjork: Numerical Methods. Prentice-Hall, 1974
4. A. Quarteroni, S. Sacco, F. Saleri: Numerical Mathematics, Springer-Verlag, New York, 2000.
5. C.F. Van Loan, G.H. Golub: Matrix Computations, 3th ed., the Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996.
Literatura - doporučená:
1. L. Čermák, R. Hlavička: Numerické metody. Učební text FSI VUT Brno, CERM, 2016.
2. L. Čermák: Vybrané statě z numerických metod. https://mathonline.fme.vutbr.cz/Numericke-metody-I/sc-1150-sr-1-a-141/default.aspx
3. A. R. Ralston: Základy numerické matematiky. Academia, Praha, 1973.
4. E. Vitásek: Numerické metody. SNTL, Praha, 1987
5. K. Rektorys: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha, 1995
6. I. Horová, J. Zelinka: Numerické metody, učební text Masarykovy univerzity, Brno, 2004.