Numerická matematika II (FSI-9NM2)

Akademický rok 2019/2020

Garant:	doc. RNDr. Libor Čermák, CSc.
Garantující pracoviště:	ÚM	všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky:	čeština či angličtina
Cíle předmětu:
Smyslem kurzu je naučit posluchače základní principy moderních výpočtových metod používaných pro řešení úloh popsaných diferenciálními rovnicemi. To jim umožní, aby si správně vybrali z neobyčejně široké nabídky hotových programů nabízených na trhu (výjimečně aby si takový program sami napsali) a aby tyto programy uměli s rozmyslem a efektivně využívat.
Výstupy studia a kompetence:
Mnoho inženýrských problémů vede na řešení diferenciálních rovnic, obyčejných nebo parciálních. Dovednosti získané v tomto kurzu vybaví jeho absolventy nezbytným minimem znalostí základních výpočetních technik používaných v současných programových systémech určených pro řešení diferenciálních rovnic.
Prerekvizity:
Lineární algebra, vektorový počet, integrální a diferenciální počet, základy programování.
Obsah předmětu (anotace):
Kurz je věnován numerickému řešení diferenciálních rovnic. Nejdříve jsou vyloženy metody pro řešení počátečních úloh (jednokrokové Rungovy-Kuttovy metody, lineární mnohokrokové metody (Adamsovy a zpětného derivování), řešení soustav se silným tlumením). Následují metody řešení okrajových úloh (diferenční metoda, metoda konečných objemů a metoda konečných prvků). Principy metod jsou vysvětleny na 1D okrajové úloze druhého řádu. Hlavní pozornost je věnována metodě konečných prvků ve 2D. Uvažují se tyto modelové úlohy: eliptická (stacionární vedení tepla), parabolická (nestacionární vedení tepla) a hyperbolická (kmitání membrány včetně problému vlastních čísel).
Metody vyučování:
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny.
Způsob a kritéria hodnocení:
Zkouška je ústní. U zkoušky je položena jedna otázka z okruhu numerického řešení počátečních úloh pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic a další jedna až dvě otázky z okruhu numerického řešení rovnic parciálních (z nich jedna vždy na metodu konečných prvků). Důraz je kladen na pochopení podstaty metod, formule není třeba znát zpaměti, je však třeba jim rozumět a umět pomocí nich vyložit "jak metoda pracuje".
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
Účast na přednáškách je žádoucí, nikoliv však povinná.
Typ (způsob) výuky:
Přednáška	10 × 2 hod.	nepovinná
Osnova:
Přednáška	Předmět má 10 dvohodinových přednášek. 1. Rungovy-Kuttovy: základní pojmy (diskretizační chyba, stabilita,...), formule řádu 1 a 2. 2. Další Rungovy-Kuttovy formule (řádů 3-5), řízení délky kroku. 3. Adamsovy metody, technika prediktor-korektor. 4. Metody zpětného derivování. Stiff systémy ODR. 5. Metody: diferenční, konečných objemů, konečných prvků v 1D. 6. Stacionární 2D úloha: klasická a variační formulace, lineární trojúhelníkový element. 7. Matice tuhosti, vektor zatížení. 8. Sestavení soustavy rovnic. Minimalizační formulace. 9. Nestacionární 2D úlohy : vedení tepla, kmitání membrány, vlastní čísla. 10. Izoparametrické prvky.

Literatura - základní:
2. K.J. Bathe: Finite Elemets Procedures. Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ, 1996.
3. O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor: The Finite Element Method. Volumes I,II,III. Butterworth-Heinemann, Oxford, 2000.
4. V. Kolář, J. Kratochvíl, F. Leitner, A. Ženíšek: Výpočet plošných a prostorových konstrukcí metodou konečných prvků. SNTL, Praha, 1979.
Literatura - doporučená:
1. L. Čermák: Numerické metody II. Skripta FSI VUT v Brně, CERM, Brno, 2004.
2. L. Čermák: Algoritmy metody konečných prvků. Skripta FSI VUT v Brně, PC-DIR Real, Brno, 2000. http://mathonline.fme.vutbr.cz/Numericke-metody-III/sc-1151-sr-1-a-142/default.aspx