Algebry rotací a jejich aplikace (FSI-9ARA)

Akademický rok 2019/2020

Garant:	doc. Mgr. Petr Vašík, Ph.D.
Garantující pracoviště:	ÚM	všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky:	čeština či angličtina
Cíle předmětu:
Pochopení významu a potřebnosti abstraktních matematických struktur skrze jejich aplikace v inženýrství.
Výstupy studia a kompetence:
Schopnost aplikovat grupy transformací na pohyb hmotného tělesa. Sestavení jednoduchého pohybového algoritmu v geometrické algebře.
Prerekvizity:
Základy lineární algebry.
Obsah předmětu (anotace):
Přehled matematických struktur používaných pro pohyb hmotného tělesa, tj. různé reprezentace Eukleidovského prostoru a jeho transformací. Konkrétně se budeme zabývat grupami SO(2), SO(3) a jejich Lieovými algebrami a grupami Spin(2) a Spin(3), kvaterniony, jejich konstrukcí, vlastnostmi a aplikacemi. Úvod do geometrických algeber.
Metody vyučování:
Přednáška spolu s řízenými konzultacemi. Důraz na výklad a vysvětlení základních pojmů a jejich souvislostí.
Způsob a kritéria hodnocení:
Zakončení ústní zkouškou. Nutná je znalost základních pojmů, definic a vlastností. Součástí zkoušky je setavení algoritmu pro pohyb hmotného tělesa.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
Přednáška, účast nepovinná.
Typ (způsob) výuky:
Přednáška	10 × 2 hod.	nepovinná
Osnova:
Přednáška	1. Zopakování pojmů lineární algebry, vektorový prostor, báze, matice přechodu, matice transformace. 2. Grupy SO(2), SO(3), definice, vlastnosti, maticová reprezentace. 3. Algebry so(2), so(3), definice, vlastnosti, maticová reprezentace. 4. Exponent matice, Baker-Campbel-Hausdorff formule. 5. Metoda pohyblivého repéru a po částech konstantní input na so(3). 6. Spinové grupy Spin(2) a Spin(3) jako dvojnásobné nakrytí grup SO(2) a SO(3) a jejich topologické vlastnosti. 7. Algebra kvaternionů a identifikace jednotkových kvaternionů s grupou Spin(3). 8. Analytická geometrie realizovaná pomocí kvaternionů a duálních kvaternionů. 9. Základy teorie geometrických (Cliffordových) algeber, podrobněji příklady G2, CRA (G3,1) a CGA (G4,1). 10. Analytická geometrie realizovaná pomocí algebry CGA.

Literatura - základní:
1. PERWASS, Christian. Geometric algebra with applications in engineering. Berlin: Springer, c2009. ISBN 354089067X.
2. MURRAY, Richard M., Zexiang LI a Shankar. SASTRY. A mathematical introduction to robotic manipulation. Boca Raton: CRC Press, c1994. ISBN 0849379814.
3. SELIG, J. M. Geometric fundamentals of robotics. 2nd ed. New York: Springer, 2005. ISBN 0387208747.
4. HILDENBRAND, Dietmar. Foundations of geometric algebra computing. Geometry and computing, 8. ISBN 3642317936.
5. HILDENBRAND, Dietmar. Introduction to geometric algebra computing. Boca Raton, 2018. ISBN 978-149-8748-384.
6. MOTL, Luboš a Miloš ZAHRADNÍK. Pěstujeme lineární algebru. 3. vyd. Praha: Karolinum, 2002. ISBN 80-246-0421-3.