Matematické metody v teorii proudění (FSI-SMM)

Akademický rok 2021/2022
Garant: doc. Ing. Luděk Nechvátal, Ph.D.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Cíle předmětu:
Předmět slouží jako úvodní seznámení s výpočtovými metodami pro modelování proudění tekutin. Pro stlačitelné proudění je vyložena metoda konečných objemů a nespojitá Galerkinova metoda, pro nestlačitelné proudění metoda tlakových korekcí a metoda konečných prvků. Studenti by měli pochopit, že teprve znalost podstatných fyzikálních a matematických aspektů jednotlivých typů proudění jim umožní efektivní volbu vhodné numerické metody resp. odpovídajícího softwarového produktu. Důležitou součástí předmětu je samostatná práce na zadaném projektu.
Výstupy studia a kompetence:
Studenti se seznámí se základními postupy modelování proudění tekutin: fyzikální zákony, matematická analýza rovnic popisujících proudění tekutin (Eulerovy a Navierovy-Stokesovy rovnice), volba vhodné numerické metody (která vychází z fyzikální a matematické podstaty rovnic) a počítačové modelování navržené numerické metody (preprocesing = tvorba sítě, numerický řešič, postprocesing = zobrazení žádáných fyzikálních veličin). Získané znalosti si studenti ověří a prohloubí zpracováním semestrálního projektu.
Prerekvizity:
Parciální diferenciální rovnice evolučního typu, funkcionální analýza, numerické metody řešení parciálních diferenciálních rovnic.
Obsah předmětu (anotace):
Fyzikální základy mechaniky tekutin: zákony zachování hmoty, hybnosti a energie. Vlastnosti hyperbolických rovnic, speciálně Eulerových rovnic popisujících proudění neviskózních stlačitelných tekutin. Numerické modelování Eulerových rovnic metodou konečných objemů a nespojitou Galerkinovou metodou. Numerické modelování nestlačitelných viskózních tekutin metodou tlakových korekcí (algoritmus SIMPLE).
Metody vyučování:
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.
Způsob a kritéria hodnocení:
PODMÍNKY PRO ZÍSKÁNÍ ZÁPOČTU: Účast ve cvičeních, zpracování zadané práce, ve které studenti zúročí poznatky získané na přednáškách. V rámci cvičení možno získat maximálně 30 bodů. Podmínkou udělení zápočtu je získání alespoň 15 bodů.

ZKOUŠKA: je ústní. Za zkoušku student obdrží 0 až 70 bodů.

HODNOCENÍ: se bude odvíjet od součtu bodů ze cvičení a zkoušky.

KLASIFIKACE: 100-90: A (výborně), 89-80: B (velmi dobře), 79-70: C (dobře), 69-60: D (uspokojivě), 59-50: E (dostatečně), 49-0: F (nevyhovující).
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
Účast na přednáškách je žádoucí, účast ve cvičeních je povinná. Výuka probíhá podle týdenních rozvrhů. Způsob náhrady zameškané výuky je plně v kompetenci cvičícího.
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  13 × 2 hod. nepovinná                  
    Cvičení s počítačovou podporou  13 × 1 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška 1. Materiálová derivace, transportní věta, zákony zachování hmoty a hybností.
2. Zákon zachování energie, konstituční vztahy, stavové rovnice.
3. Eulerovy a Navierovy-Stokesovy rovnice, počáteční a okrajové podmínky.
4. Akustické rovnice, problém dopravního proudu, problém mělké vody.
5. Hyperbolický problém, klasické a slabé řešení, nespojitosti v řešení.
6. Riemannův problém pro lineární a nelineární úlohu, klasifikace vln.
7. Metoda konečných objemů, lokální chyba, stabilita, konvergence.
8. Godunovova metoda
9. Metody založené na rozkladu vektoru toku: numerický tok Vijayasundaram, Steger-Warming, Van Leer, Roe.
10. Okrajové podmínky, metody druhého řádu.
11. Nespojitá Galerkinova metoda pro stlačitelné neviskózní proudění: princip DGM, diskretizace 2D Eulerových rovnic.
12. Metoda konečných objemů pro viskózní nestlačitelné proudění: algoritmus SIMPLE na pravidelné obdélníkové síti.
13. Metoda konečných objemů pro viskózní nestlačitelné proudění: algoritmus SIMPLE na nestrukturované síti.
    Cvičení s počítačovou podporou Ukázky řešení vybraných modelových úloh na počítači. Vypracování semestrální práce.
Literatura - základní:
1. M. Feistauer, J. Felcman, I. Straškraba: Mathematical and Computational Methods for Compressible Flow, Oxford University Press, Oxford, 2003
2. V. Dolejší, M. Feistauer: Discontinuous Galerkin Method, Springer, Heidelberg, 2016.
3. E.F. Toro: Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, A Practical Introduction, Springer, Berlin, 1999.
4. J.H. Ferziger, M. Peric: Computational Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag, New York, 2002.
5. K. H. Versteeg, W. Malalasekera: An Introduction to Computational Fluid Dynamics, Pearson Prentice Hall, Harlow, 2007.
Literatura - doporučená:
1. L. Čermák: Výpočtové metody dynamiky tekutin, dostupné na http://mathonline.fme.vutbr.cz/
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
M2A-P prezenční studium M-MAI Matematické inženýrství -- zá,zk 4 Povinný 2 2 Z