Mechanika kontinua (FSI-S1K)

Akademický rok 2021/2022
Garant: prof. RNDr. Michal Kotoul, DrSc.  
Garantující pracoviště: ÚMTMB všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Cíle předmětu:
Cílem předmětu Mechanika kontinua I je seznámit posluchače se základními pojmy a vztahy kontinuální mechaniky pevné fáze a způsoby formulace a řešení okrajových úloh pružných a pružně plastických těles. Vedle klasické formulace úloh je kladen důraz také na variační formulaci problémů v návaznosti na další numerické řešení. Dalším cílem je pochopení základů teorie konečných deformací a konstitutivních rovnic, což skýtá lepší orientaci při aplikaci pokročilých systémů MKP umožňujících modelovat složité děje s uvažováním velkých přetvoření a nelineárních vlastností materiálů.
Výstupy studia a kompetence:
Studenti získají poznatky o základních metodách stanovení napjatosti a deformace u obecných těles, vycházejících z diferenciálního a variačního přístupu. Poznatky o fyzikální podstatě variační formulace úloh mechaniky kontinua umožňují v návaznosti na předmět Numerické metody III zvolit vhodnou metodiku přípravy numerického výpočtu. Osvojení základů teorie
konstitutivních rovnic vede k dobré orientaci mezi rozličnými materiálovými modely. Důležité jsou rovněž poznatky o negativním vlivu trhlin na životnost těles s trhlinami.
Prerekvizity:
Z oblasti mechaniky: Znalost základních pojmů pružnosti a pevnosti (napětí, hlavní napětí, deformace, přetvoření, Hookův zákon). Principy virtuálních posunutí a princip virtuálních prací.
Z oblasti matematiky: Parciální diferenciální rovnice 2. řádu. Základy variačního počtu. Základy funkcionální analýzy (funkcionální prostory, Hilbertův prostor L2).
Obsah předmětu (anotace):
Základní pojmy mechaniky kontinua, tělesa, pohyby, konfigurace. Základy teorie konečných deformací. Transportní teorém. Cauchyho I. a II. zákon mechaniky kontinua. Rovnice geometrické, rovnice kompatibility, okrajové podmínky. Termodynamické základy teorie konstitutivních vztahů. Modely pružného chování. Hyperelastický materiál. Izotropní a anizotropní tělesa. Zahrnutí vlivu tepelné roztažnosti. Klasická formulace základních úloh pružnosti pomocí diferenciálního přístupu. Deformační a přírůstková teorie plasticity. Variační principy v teorii malých deformací.Variační formulace základních okrajových úloh pružnosti. Slabé řešení. Osově symetrické úlohy. Rovinná deformace, rovinná napjatost. Řešení úloh rovinné pružnosti v napětích. Airyho funkce napětí. Základy teorie desek a skořepin. Základy lomové mechaniky. Poznámky k Ritzově metodě a k MKP v úlohách mechaniky kontinua.
Metody vyučování:
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.
Způsob a kritéria hodnocení:
Požadavky pro zkoušku:
- písemný přehledový test základních znalostí a pojmů
- písemné řešení 3 příkladů
- ústní diskuse nad písemnými materiály s případnou doplňkovou otázkou
Podmínky k udělení zápočtu:
- aktivní účast na cvičeních
- dobré výsledky průběžné kontroly základních znalostí
- vyřešení náhradních úloh v případě omluvené neúčasti
Konkrétní podobu splnění těchto požadavků stanovuje vedoucí cvičení v prvním týdnu semestru
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
Účast na cvičení je povinná. Vedoucí cvičení provádějí průběžnou kontrolu přítomnosti studentů, jejich aktivity a základních znalostí. Neomluvená neúčast je důvodem k neudělení zápočtu. Jednorázovou neúčast je možno nahradit zadáním náhradních úloh, delší neúčast se nahrazuje vypracováním náhradních úloh podle pokynů cvičícího.
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  13 × 3 hod. nepovinná                  
    Cvičení  13 × 3 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška Teorie konečných deformací.Lagrangeovská a eulerovská formulace pohybu.Deformační gradient. Rovnice kontinuity. Polární rozklad deformačního gradientu. Míry deformace. Časové derivace veličin v konečných deformacích.
Mechanické veličiny v teorii konečných deformací. Transportní teorém. Euler-Cauchyho zákony v konečných defomacích. Piola-Kirchhoffovy a Cauchyho tenzory napětí.
Základy teorie konstitutivních rovnic materiálů, axiomy a termodynamická omezení na tvar konstitutivních rovnic.
Modely pružného chování. Hyperelastický materiál. Izotropní a anizotropní tělesa. Zahrnutí vlivu tepelné roztažnosti.
Základní rovnice matematické teorie lineární pružnosti. Diferenciální rovnice rovnováhy, rovnice geometrické, rovnice kompatibility, Hookeův zákon, okrajové podmínky, klasická formulace základních úloh pružnosti.
Variační principy v teorii malých deformací. Variační formulace a řešení základních okrajových úloh pružnosti. Slabé řešení.
Základní úlohy pružnosti v křivočarých souřadnicích.
Dvojdimenzionální úlohy teorie pružnosti. Airyho funkce napětí. Řešení úloh rovinné pružnosti v napětích.
Základy teorie ohybu desek.
Základy teorie skořepin.
Deformační a přírůstková teorie plasticity. Misesova podmínka plasticity. Asociované teorie plastického tečení. Pravidlo normality.
Deformační varianta metody konečných prvků (MKP) pro rovinnou úlohu.
Stručná rekapitulace kursu, časová reserva.
    Cvičení Kinematické veličiny mechaniky kontinua.
Tenzory napětí. Hlavní napětí, invarianty. Bilanční rovnice.
Konstitutivní rovnice v mechanice kontinua. Termodynamické zákony.
Hyperelastický materiál. Neo-Hookeův zákon, Mooney-Rivlinův zákon. Hookeův zákon pro izotropní a anizotropní tělesa.
Vybrané úlohy lineární 3D pružnosti.
Variační metody v teorii malých deformací.
Základní veličiny mechaniky kontinua v křivočarých souřadnicích.
Osově symetrické úlohy lineární pružnosti.
Řešení rovinných úloh pomocí Airyho funkce napětí.
Kruhové a mezikruhové desky.
Momentová válcová skořepina.
Rotačně symetrická membránová skořepina.
Vybrané jednoduché úlohy z teorie plasticity.
Numerické metody v úlohách pružnosti. Zápočet.
Literatura - základní:
1. Timoshenko, S.P. Goodier,J.N.: Theory of Elasticity
2. Nečas, J., Hlaváček, I.: Úvod do teorie pružných a pružně plastických těles
3. Novacki W.: Teorija uprugosti
Literatura - doporučená:
1. Ondráček, E., Vrbka,J., Janíček, P.: Mechanika těles- pružnost a pevnost II
2. Janíček, P., Petruška, J.: Úlohy z pružnosti a pevnosti II
3. Němec,J. Dvořák,J., Hoschl. C.: Pružnost a pevnost ve strojírenství
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
M2A-P prezenční studium M-MAI Matematické inženýrství -- zá,zk 4 Volitelný 2 2 Z