Diferenciální a diferenční rovnice v teorii řízení (FSI-VDR)

Cílem tohoto předmětu je  aplikování obyčejných diferenciálních a diferenčních rovnic v teorii řízení. Dále je snahou předmětu rozšíření a propojení znalostí z oblasti řešení diferenciálních a diferenčních rovnic, Laplaceovy transformace, Z-transformace a teorie přenosu. Účelem kurzu bude rovněž řešení a simulování úloh s podporou programu Matlab.

Absolvováním tohoto předmětu si studenti nejen prohloubí znalosti v oblasti diferenciálních a diferenčních rovnic, ale seznámí se s aplikacemi a různými způsoby řešení včetně jejich výhod a nevýhod (klasický matematický přístup, Laplaceova transformace, Z-transformace, Matlab).

Diferenciální a integrální počet funkce jedné proměnné, Diferenciální rovnice, Diferenční rovnice, Lineární spojité a diskrétní řízení,  Matlab.

Kurz je zaměřen na prohloubení a aplikace teorie diferenciálních a diferenčních rovnic v teorii regulace. V tomto předmětu je kladen důraz  na konkrétní aplikace těchto rovnic v teorii spojitého a diskrétního řízení včetně jejich demonstrací v prostředí Matlab. Obsahem kurzu je využití Laplaceovy a Z-transformace. Pro názornost budou úlohy řešeny a simulovány v  Matlabu.

Předmět je vyučován formou úzce propojených cvičení a přednášek. Přednášky mají charakter výkladu základní teorie a metod. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí témat probraných na přednáškách, včetně počítačové podpory a simulace v prostředí Matlab.

Podmínkou pro udělení  zápočtu je aktivní účast ve cvičeních a vypracování zadaného resp. vybraného příkladu, na kterém student předvede více metod (včetně počítačového zpracování) a zhodnotí jejich efektivitu.

Zkouška je písemná a ústní. V písemné části student řeší dvě základní témata (diferenciální a diferenční rovnice). Ústní část zkoušky obsahuje diskuzi o těchto úlohách a možné doplňující otázky.

Účast na cvičeních i přednáškách je povinná, vzhledem k úzké propojenosti jejich náplně. Neúčast je možno nahradit  zadáním náhradních úloh.

1. Úvod (Motivace). Obyčejné diferenciální rovnice  1.řádu (ODR1). Základní pojmy. Metody řešení ODR1 (separace proměnných, lineární diferenciální rovnice (LDR), exaktní diferenciální rovnice,…).

2. Aplikace ODR1 a jejich řešení v prostředí Matlab.

3. Uvedení Laplaceovy transformace (LT). Základní pojmy. Výpočet přímé LT z definice. Základní věty LT a operátorový slovník. 

4. LT v teorii přenosu. Impulsní a přechodová fce. LT a přenos v Matlabu.

5. Aplikace LT v ODR1. 

6. ODR vyšších řádů. Konstrukce řešení homogenní LDR n-tého řádu. Metoda neurčitých koeficientů pro nehomogenní LDR n-tého řádu.

7. ODR vyšších řádů (pohybové rovnice, průběh oscilací elektrického proudu v RCL obvodu).

8. Výpočet ODR vyšších řádů pomocí základních matematických metod, přenosu a Matlabu.

9. Diference, diferenční rovnice s kladnými i zápornými posunutími.

10. Metody řešení diferenčních rovnic (klasický způsob, numerický způsob).

11. Z-přenos, řešení diferenčních rovnic pomocí Z - přenosu. Hledání impulsní a přechodová funkce jako řešení diferenční rovnice a další aplikace diferenčních rovnic v teorii regulace.

12.  Doplněk k LT: Výpočet přímé LT z definice. Zpětná LT pomocí reziduovy věty. Laplaceova transformace impulsu.

13. Závěrečné shrnutí kurzu.

Cvičení úzce navazuje na náplň přednášek:

1. Základních metody řešení ODR1 včetně jejich interpretace v prostředí Matlab.

2. Aplikace  ODR1 v  teorii lineárního řízení.

3. Využití přímé i zpětné Laplaceovy transformace (LT). Opakování rozkladu na parciální zlomky.

4. LT v teorii přenosu. Impulsní a přechodová fce.

5. Aplikace LT v ODR1. LT a přenos v Matlabu.

6. ODR vyšších řádů. Řešení homogenní LDR n-tého řádu. Metoda neurčitých koeficientů pro nehomogenní LDR n-tého řádu.

7. Výpočet ODR vyšších řádů pomocí základních matematických metod.

8. Výpočet ODR vyšších řádů pomocí teorie přenosu a Matlabu.

9. Řešení diferenčních rovnic s kladnými i zápornými posunutími numerickým způsobem (otevřené řešení) a klasickým způsobem.

10. Využití Z - přenosu při řešení diferenčních rovnic. Hledání impulsní a přechodová funkce jako řešení diferenční rovnice a další aplikace diferenčních rovnic v teorii diskrétního řízení.

11. Zadání zápočtových příkladů. Doplněk k LT: Výpočet přímé LT z definice. Zpětná LT pomocí reziduovy věty. Laplaceova transformace impulsu.

12. Prezentace zápočtových příkladů.

13. Prezentace zápočtových příkladů. Zápočet.

Švarc, I., Matoušek, R., Šeda, M., Vítečková, M.: Automatizace-Automatické řízení, skriptum VUT FSI v Brně, CERM 2011.