Diferenciální a diferenční rovnice v teorii řízení (FSI-VDR)

Akademický rok 2022/2023
Garant: Mgr. Monika Dosoudilová, Ph.D.  
Garantující pracoviště: ÚAI všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Cíle předmětu:

Cílem tohoto předmětu je  aplikování obyčejných diferenciálních a diferenčních rovnic v teorii řízení. Dále je snahou předmětu rozšíření a propojení znalostí z oblasti řešení diferenciálních a diferenčních rovnic, Laplaceovy transformace, Z-transformace a teorie přenosu. Účelem kurzu bude rovněž řešení a simulování úloh s podporou programu Matlab.

Výstupy studia a kompetence:

Absolvováním tohoto předmětu si studenti nejen prohloubí znalosti v oblasti diferenciálních a diferenčních rovnic, ale seznámí se s aplikacemi a různými způsoby řešení včetně jejich výhod a nevýhod (klasický matematický přístup, Laplaceova transformace, Z-transformace, Matlab).

Prerekvizity:

Diferenciální a integrální počet funkce jedné proměnné, Diferenciální rovnice, Diferenční rovnice, Lineární spojité a diskrétní řízení,  Matlab.

Obsah předmětu (anotace):

Kurz je zaměřen na prohloubení a aplikace teorie diferenciálních a diferenčních rovnic v teorii regulace. V tomto předmětu je kladen důraz  na konkrétní aplikace těchto rovnic v teorii spojitého a diskrétního řízení včetně jejich demonstrací v prostředí Matlab. Obsahem kurzu je využití Laplaceovy a Z-transformace. Pro názornost budou úlohy řešeny a simulovány v  Matlabu.

 

 

 

Metody vyučování:

Předmět je vyučován formou úzce propojených cvičení a přednášek. Přednášky mají charakter výkladu základní teorie a metod. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí témat probraných na přednáškách, včetně počítačové podpory a simulace v prostředí Matlab.

 

Způsob a kritéria hodnocení:

Podmínkou pro udělení  zápočtu je aktivní účast ve cvičeních a vypracování zadaného resp. vybraného příkladu, na kterém student předvede více metod (včetně počítačového zpracování) a zhodnotí jejich efektivitu.

Zkouška je písemná a ústní. V písemné části student řeší dvě základní témata (diferenciální a diferenční rovnice). Ústní část zkoušky obsahuje diskuzi o těchto úlohách a možné doplňující otázky.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:

Účast na cvičeních i přednáškách je povinná, vzhledem k úzké propojenosti jejich náplně. Neúčast je možno nahradit  zadáním náhradních úloh.

 

Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  13 × 2 hod. povinná                  
    Cvičení s počítačovou podporou  13 × 1 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška

1. Úvod (Motivace). Obyčejné diferenciální rovnice  1.řádu (ODR1). Základní pojmy. Metody řešení ODR1 (separace proměnných, lineární diferenciální rovnice (LDR), exaktní diferenciální rovnice,…).


2. Aplikace ODR1 a jejich řešení v prostředí Matlab.


3. Uvedení Laplaceovy transformace (LT). Základní pojmy. Výpočet přímé LT z definice. Základní věty LT a operátorový slovník. 


4. LT v teorii přenosu. Impulsní a přechodová fce. LT a přenos v Matlabu.


5. Aplikace LT v ODR1. 


6. ODR vyšších řádů. Konstrukce řešení homogenní LDR n-tého řádu. Metoda neurčitých koeficientů pro nehomogenní LDR n-tého řádu.


7. ODR vyšších řádů (pohybové rovnice, průběh oscilací elektrického proudu v RCL obvodu).


8. Výpočet ODR vyšších řádů pomocí základních matematických metod, přenosu a Matlabu.


9. Diference, diferenční rovnice s kladnými i zápornými posunutími.


10. Metody řešení diferenčních rovnic (klasický způsob, numerický způsob).


11. Z-přenos, řešení diferenčních rovnic pomocí Z - přenosu. Hledání impulsní a přechodová funkce jako řešení diferenční rovnice a další aplikace diferenčních rovnic v teorii regulace.


12.  Doplněk k LT: Výpočet přímé LT z definice. Zpětná LT pomocí reziduovy věty. Laplaceova transformace impulsu.


13. Závěrečné shrnutí kurzu.

    Cvičení s počítačovou podporou

Cvičení úzce navazuje na náplň přednášek:


1. Základních metody řešení ODR1 včetně jejich interpretace v prostředí Matlab.


2. Aplikace  ODR1 v  teorii lineárního řízení.


3. Využití přímé i zpětné Laplaceovy transformace (LT). Opakování rozkladu na parciální zlomky.


4. LT v teorii přenosu. Impulsní a přechodová fce.


5. Aplikace LT v ODR1. LT a přenos v Matlabu.


6. ODR vyšších řádů. Řešení homogenní LDR n-tého řádu. Metoda neurčitých koeficientů pro nehomogenní LDR n-tého řádu.


7. Výpočet ODR vyšších řádů pomocí základních matematických metod.


8. Výpočet ODR vyšších řádů pomocí teorie přenosu a Matlabu.


9. Řešení diferenčních rovnic s kladnými i zápornými posunutími numerickým způsobem (otevřené řešení) a klasickým způsobem.


10. Využití Z - přenosu při řešení diferenčních rovnic. Hledání impulsní a přechodová funkce jako řešení diferenční rovnice a další aplikace diferenčních rovnic v teorii diskrétního řízení.


11. Zadání zápočtových příkladů. Doplněk k LT: Výpočet přímé LT z definice. Zpětná LT pomocí reziduovy věty. Laplaceova transformace impulsu.


12. Prezentace zápočtových příkladů.


13. Prezentace zápočtových příkladů. Zápočet.

Literatura - základní:
1.

Švarc, I., Matoušek, R., Šeda, M., Vítečková, M.: Automatizace-Automatické řízení, skriptum VUT FSI v Brně, CERM 2011.

Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
CŽV prezenční studium CZV Základy strojního inženýrství -- zá,zk 4 Povinný 1 1 L
B-STR-P prezenční studium AIŘ Aplikovaná informatika a řízení -- zá,zk 4 Povinný 1 3 L