Funkce komplexní proměnné (FSI-SKF)

Akademický rok 2023/2024
Garant: prof. RNDr. Miloslav Druckmüller, CSc.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Cíle předmětu:

Cilem předmětu je seznámit studenty se základy analýzy v komplexním oboru a Fourierovou transformací včetně aplikací.
Výstupy studia a kompetence:

Předmět Funkce komplexní proměnné umožňuje studentům získat základní dovednosti v použití komplexních čísel, výpočtů integrálů pomocí reziduí, v použití konformních zobrazení a Fourierovy transformace.
Prerekvizity:
Analýza v reálném oboru na úrovni základního kurzu
Obsah předmětu (anotace):

Cilem kurzu je seznámit studenty se základy analýzy v komplexním oboru a Fourierovou transformací.
Metody vyučování:
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.
Způsob a kritéria hodnocení:

Zápočet na základě testu
Zkouška písemná i ústní
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:

Nahrazení zameškané výuky je možné absolvováním testu.
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  13 × 3 hod. nepovinná                  
    Cvičení  13 × 2 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška

1. Komplexní čísla, Gaussova rovina, Riemannova sféra
2. Funkce komplexní proměnné, limita, spojitost, elementární funkce
3. Derivace funkce komplexní proměnné, holomorfní funkce, Cauchy-Riemannovy podmínky
4. Harmonické funkce, geometrický význam funkce komplexní proměnné a její derivace
5. Posloupnosti a řady komplexních čísel, mocninné řady, stejnoměrná konvergence
6. Křivky, integrál, primitivní funkce, nezávislost integrálu na integrační cestě
7. Cauchyův integrální vzorec, věta o jednoznačnosti holomorfních funkcí
8. Taylorovy a Laurentovy řady
9. Singulární body holomorfních funkcí, rezidua, reziduová věta
10. Výpočet integrálů užitím reziduové věty
11. Konformní zobrazení
12. Fourierova transformace a její vlastnosti
13. Aplikace Fourierovy transformace


 
    Cvičení

1. Komplexní čísla, Moivrova věta, odmocniny
2. Funkce komplexní proměnné, limita, spojitost, elementární funkce
3. Derivace funkce komplexní proměnné, holomorfní funkce, Cauchy-Riemannovy podmínky
4. Harmonické funkce, geometrický význam funkce komplexní proměnné a její derivace
5. Posloupnosti a řady komplexních čísel, mocninné řady, stejnoměrná konvergence
6. Křivky, integrál, primitivní funkce, nezávislost integrálu na integrační cestě
7. Cauchyův integrální vzorec, věta o jednoznačnosti holomorfních funkcí
8. Taylorovy a Laurentovy řady
9. Singulární body holomorfních funkcí, rezidua, reziduová věta
10. Výpočet integrálů užitím reziduové věty
11. Konformní zobrazení
12. Fourierova transformace a její vlastnosti
13. Aplikace Fourierovy transformace


 
Literatura - základní:
1. Markushevich A.,I., Silverman R., A.:Theory of Functions of a Complex Variable, AMS Publishing, 2005
2. Šulista M.: Základy analýzy v komplexním oboru. SNTL Praha 1981
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
N-MAI-P prezenční studium --- bez specializace -- zá,zk 6 Povinný 2 1 L