Matematické metody v teorii proudění (FSI-SMM-A)

Akademický rok 2023/2024
Garant: doc. Ing. Luděk Nechvátal, Ph.D.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: angličtina
Cíle předmětu:

Předmět slouží jako úvodní seznámení s výpočtovými metodami pro modelování proudění tekutin. Pro stlačitelné proudění je vyložena metoda konečných objemů, pro nestlačitelné proudění metoda tlakových korekcí. Studenti by měli pochopit, že teprve znalost podstatných fyzikálních a matematických aspektů jednotlivých typů proudění jim umožní efektivní volbu vhodné numerické metody resp. odpovídajícího softwarového produktu. Důležitou součástí předmětu je samostatná práce na zadaném projektu.
Výstupy studia a kompetence:

Studenti se seznámí se základními postupy modelování proudění tekutin: fyzikální zákony, matematická analýza rovnic popisujících proudění tekutin (Eulerovy a Navierovy-Stokesovy rovnice), volba vhodné numerické metody (která vychází z fyzikální a matematické podstaty rovnic) a počítačové modelování navržené numerické metody (preprocesing = tvorba sítě, numerický řešič, postprocesing = zobrazení žádáných fyzikálních veličin). Získané znalosti si studenti ověří a prohloubí zpracováním zadaného projektu.
Prerekvizity:
Parciální diferenciální rovnice evolučního typu, funkcionální analýza, numerické metody řešení parciálních diferenciálních rovnic.
Obsah předmětu (anotace):
Fyzikální základy mechaniky tekutin: zákony zachování hmoty, hybnosti a energie. Vlastnosti hyperbolických rovnic, speciálně Eulerových rovnic popisujících proudění neviskózních stlačitelných tekutin. Numerické modelování Eulerových rovnic metodou konečných objemů a nespojitou Galerkinovou metodou. Numerické modelování nestlačitelných viskózních tekutin metodou tlakových korekcí (algoritmus SIMPLE).
Metody vyučování:
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.
Způsob a kritéria hodnocení:

PODMÍNKY PRO ZÍSKÁNÍ ZÁPOČTU: Účast ve cvičeních, zpracování zadané práce, ve které studenti zúročí poznatky získané na přednáškách. Podmínkou udělení zápočtu je zpracování a prezentace zadané práce.


ZKOUŠKA: je ústní. Za zkoušku student obdrží 0 až 100 bodů.


HODNOCENÍ: se bude odvíjet od získaných bodů u zkoušky.


KLASIFIKACE: 100-90: A (výborně), 89-80: B (velmi dobře), 79-70: C (dobře), 69-60: D (uspokojivě), 59-50: E (dostatečně), 49-0: F (nevyhovující).
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:

Účast na přednáškách je žádoucí, účast ve cvičeních je povinná. Výuka probíhá podle týdenních rozvrhů. Způsob náhrady zameškané výuky je plně v kompetenci cvičícího.
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  13 × 2 hod. nepovinná                  
    Cvičení s počítačovou podporou  13 × 1 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška

1. Materiálová derivace, transportní věta, zákony zachování hmoty a hybností.
2. Zákon zachování energie, konstituční vztahy, stavové rovnice.
3. Eulerovy a Navierovy-Stokesovy rovnice, počáteční a okrajové podmínky.
4. Hyperbolický systém a příklady hyberbolických systémů
5. Klasické řešení hyperbolického systému.
6. Slabé řešení hyperbolického systému, nespojitosti v řešení.
7. Riemannův problém pro lineární a nelineární úlohu, klasifikace vln.
8. Metoda konečných objemů, časová a prostorová diskretizace.
9. Lokální chyba, stabilita, konvergence numerické metody.
10. Godunovova metoda, Riemannův numerický tok
11. Další numerické toky Godunova typu.
12. Okrajové podmínky, metody druhého řádu.
13. Metoda konečných objemů pro viskózní nestlačitelné proudění: algoritmus SIMPLE na pravidelné obdélníkové síti.
    Cvičení s počítačovou podporou

Ukázky řešení vybraných modelových úloh na počítači. Samostatné vypracování zadaných úloh na počítači.
Literatura - základní:
1. R.J. LeVeque: Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press, 2002.
2. E.F. Toro: Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, A Practical Introduction, Springer, Berlin, 1999.
3. M. Feistauer, J. Felcman, I. Straškraba: Mathematical and Computational Methods for Compressible Flow, Oxford University Press, 2003.
4. J.S. Hesthaven, T. Warburton: Nodal Discontinuous Galerkin Methods, Springer-Verlag New York, 2008.
Literatura - doporučená:
1. M. Lukacova-Medviďová: Mathematical methods in fluid dynamics, CERM, Brno, 2003.
2. J. Y. Murthy, S. R. Mathur: Numerical Methods in Heat, Mass and Momentum Transfer, Draft Notes ME 608, Purdue University, 2002, http://widget.ecn.purdue.edu/~jmurthy/me608/main.pdf.
3. L. Čermák: Řešení Navierových-Stokesových rovnic metodou tlakových korekcí. http://mathonline.fme.vutbr.cz/Matematicke-metody-v-teorii-proudeni/sc-1230-sr-1-a-239
4. L. Čermák: Řešení nestlačitelného proudění tekutin metodou spektrálních prvků. http://mathonline.fme.vutbr.cz/Matematicke-metody-v-teorii-proudeni/sc-1230-sr-1-a-239
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
N-MAI-A prezenční studium --- bez specializace -- zá,zk 4 Povinný 2 2 Z
N-AIM-A prezenční studium --- bez specializace -- zá,zk 4 Povinný 2 2 Z