Diferenciální a diferenční rovnice v teorii řízení (FSI-VDR)

Cílem tohoto předmětu je aplikování obyčejných diferenciálních a diferenčních rovnic v teorii řízení. Dále je snahou předmětu rozšíření a propojení znalostí z oblasti řešení diferenciálních a diferenčních rovnic, Laplaceovy transformace, Z-transformace a teorie přenosu. Účelem kurzu bude rovněž řešení a simulování úloh s podporou programu Matlab.

Absolvováním tohoto předmětu si studenti nejen prohloubí znalosti v oblasti diferenciálních a diferenčních rovnic, ale seznámí se s aplikacemi a různými způsoby řešení včetně jejich výhod a nevýhod (klasický matematický přístup, Laplaceova transformace, Z-transformace, Matlab).

Diferenciální a integrální počet funkce jedné proměnné, diferenciální rovnice, diferenční rovnice, lineární spojité a diskrétní řízení, Matlab.

Kurz je zaměřen na prohloubení a aplikace teorie diferenciálních a diferenčních rovnic v teorii regulace. V tomto předmětu je kladen důraz na konkrétní aplikace těchto rovnic v teorii spojitého a diskrétního řízení, včetně jejich demonstrací v prostředí Matlab. Obsahem kurzu je využití Laplaceovy a Z-transformace. Pro názornost budou úlohy řešeny a simulovány v Matlabu.

Podmínkou pro udělení zápočtu je aktivní účast ve cvičeních a vypracování zadaného resp. vybraného příkladu, na kterém student předvede více metod (včetně počítačového zpracování) a zhodnotí jejich efektivitu.

Zkouška je písemná a ústní. V písemné části student řeší dvě základní témata (diferenciální a diferenční rovnice). Ústní část zkoušky obsahuje diskuzi o těchto úlohách a možné doplňující otázky.

Účast na cvičeních i přednáškách je povinná, vzhledem k úzké propojenosti jejich náplně. Neúčast je možno nahradit zadáním náhradních úloh.

1. Úvod (Motivace). Obyčejné diferenciální rovnice 1.řádu (ODR1). Základní pojmy. Metody řešení ODR1 (integrace, separace proměnných, lineární diferenciální rovnice (LDR), exaktní diferenciální rovnice, …).

2. Aplikace ODR1 a jejich řešení v prostředí Matlab (Tepelná výměna, Newtonovy pohybové zákony, RL obvod, …).

3.  ODR vyšších řádů. Konstrukce řešení homogenní LDR n-tého řádu. Metoda neurčitých koeficientů pro nehomogenní LDR n-tého řádu.

4. ODR vyšších řádů (pohybové rovnice, průběh oscilací elektrického proudu v RCL obvodu).

5. Aplikace ODR v teorii spojitého řízení (použití základních matematických metod, přenosu a Matlabu).

6. Uvedení Laplaceovy transformace (LT). Základní pojmy. Výpočet přímé LT z definice. Základní věty LT a použití operátorového slovníku.

7. LT v teorii přenosu. Impulsní a přechodová funkce. LT a přenos v Matlabu.

8. Aplikace LT v ODR.Zpětná LT pomocí reziduovy věty. Laplaceova transformace impulsu.

9. Diference, diferenční rovnice s kladnými i zápornými posunutími.

10. Metody řešení diferenčních rovnic (klasický způsob, numerický způsob).

11. Z-přenos, řešení diferenčních rovnic pomocí Z – přenosu. Hledání impulsní a přechodová funkce jako řešení diferenční rovnice a další aplikace diferenčních rovnic v teorii regulace.

12. Numerické integrování a derivování. Numerické metody řešení ODR (Eulerova metoda, Metoda Runge-Kutta, …).

13. Prezentace vybraných (resp. zadaných úloh) diferenciálních rovnic aplikovaných ve fyzice, mechanice, ekonomii, biologii, … Součástí budou minimálně 3 způsoby řešení (včetně řešení v Matlabu) a závěr zaměřený na efektivitu metod.

Cvičení úzce navazuje na náplň přednášek:

1. Základní metody řešení ODR1 včetně jejich interpretace v prostředí Matlab (Simulink).

2. Aplikace ODR1 v teorii spojitého lineárního řízení.

3. ODR vyšších řádů. Řešení homogenní LDR n-tého řádu. Metoda neurčitých koeficientů pro nehomogenní LDR n-tého řádu.

4. Výpočet ODR vyšších řádů pomocí základních matematických metod.

5. Výpočet ODR vyšších řádů pomocí Matlabu.

6. Využití přímé i zpětné Laplaceovy transformace (LT). Opakování rozkladu na parciální zlomky.

7. LT v teorii přenosu. Impulsní a přechodová funkce.

8. Aplikace LT v ODR. LT, přenos, impulsní a přechodová funkce v Matlabu (Simulink).

9. Výpočet zpětné LT z definice (pomocí reziduovy věty). Laplaceova transformace impulsu. Zadání zápočtových příkladů.

10. Řešení diferenčních rovnic s kladnými i zápornými posunutími numerickým způsobem (otevřené řešení) a klasickým způsobem (charakteristická rovnice).

11. Využití Z – přenosu při řešení diferenčních rovnic. Hledání impulsní a přechodová funkce jako řešení diferenční rovnice a další aplikace diferenčních rovnic v teorii diskrétního řízení.

12. Numerické řešení (numerické integrování a derivování, numerické metody řešení ODR).

13. Prezentace zápočtových příkladů. Zápočet.

Švarc, I., Matoušek, R., Šeda, M., Vítečková, M.: Automatizace-Automatické řízení, skriptum VUT FSI v Brně, CERM 2011.