Algebra a geometrie II (FSI-SB2)

Akademický rok 1999/2000
Garant: prof. RNDr. Ladislav Skula, DrSc.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Cíle předmětu:
Seznámit studenty se skalárním součinem vektorů abstraktního
vektorového prostoru. Provést diskusi pro matice vzhledem k diagonalizaci,
resp. ortogonální diagonalizaci. Dalším úkolem předmětu je, aby studenti
byli schopni řešit geometrické úlohy týkající se lineárních útvarů v
rovině a v prostoru. Uvést všechny typy kuželoseček a kvadratik a naučit
studenty provádět jejich úplnou klasifikaci z obecného tvaru. Vysvětlit
studentům základní úlohy z oblasti polynomů.
Výstupy studia a kompetence:
Student získá znalosti jak ortogonalizovat systém abstraktních vektorů
a seznámí se s Gram-Schmidtovým algoritmem. Student bude schopen získat
bázi vlastního prostoru asociovaného s vlastním číslem matice. Pomocí
těchto znalostí se student naučí provádět diagonalizaci, resp.
ortogonální diagonalizaci matice. V analytické geometrii se studenti naučí
řešit úlohy týkající se přímek a rovin. Využitím diagonalizace student
zvládne určení druhu a tvaru kuželosečky a kvadriky z jejich obecné
rovnice. Naučí se také řešit základní úlohy z oblasti polynomů (Hornerovo
schéma a Euklidův algoritmu).
Prerekvizity:
 
Obsah předmětu (anotace):
Euklidovské prostory a diagonalizace matic:
skalární součin vektorů, transformace souřadnic vektorů a ortogonální
matice, vlastní hodnoty a diagonalizace matic.
Základy analytické geometrie:
lineární útvary (přímka, rovina, kuželosečky, kvadriky).
Polynomy jedné neurčité:
stupeň polynomu, kořen polynomu, algoritmus dělení se zbytkem, násobnost
kořene, základní věta algebry, Eisensteinovo kritérium, Hornerovo schéma,
Euklidův algoritmus, derivace polynomu.
Metody vyučování:
 
Způsob a kritéria hodnocení:
Podmínky udělení zápočtu:
Absolvování cvičení, v případě větší absence vykonání náhradních úloh
podle pokynů vedoucího cvičení. Splnění podmínek průběžné kontroly
(průběžné kontrolní písemné práce) a podmínek závěrečné zápočtové písemné práce.
Zkouška:
Zkouška je písemná a ústní. Písemná zkouška prověřuje znalosti na
konkrétních příkladech. Vyžaduje se 50% správně vyřešených úloh.
Ústní zkouška vyžaduje znalost definic, vět a algoritmů z přednesené
látky.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
 
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  14 × 3 hod. nepovinná                  
    Cvičení odborného základu  14 × 2 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška 1. Skalární součin vektorů: axiomy a základní vlastnosti skalárního
součinu, norma vektoru, jednotkový vektor, Schwarzova nerovnost, Cauchyho
nerovnost.
2. Úhel nenulových vektorů, ortogonalita, ortonarmalita, Gram-Schmidtův
algoritmus. Transformace souřadnic vektorů a ortogonální matice:
uspořádaná báze vektorového prostoru, matice přechodu.
3. Ortogonální matice, přímé a nepřímé ortogonální matice, souvislost s
ortonormálnímibázemi.
4. Vlastní hodnoty a diagonalizace matic: vlastní hodnoty, vlastní vektory
a vlastní prostory matice, charakteristický polynom matice, podobnost
matic, stopa matice.
5. Diagonalizovatelné matice, aritmetická a geometrická násobnost
vlastního čísla, algoritmus diagonalizace matice, ortogonálně
diagonalizovatelné matice, algoritmus diagonalizace matice.
6. Analytická geometrie lineárních útvarů v rovině a prostoru:
kartézské souřadnicové systémy v rovině a prostoru, jejich orientace,
vektorový a smíšený součin ve V3, přímka v rovině a prostoru.
7. Rovina v prostoru, přímka v prostoru jako průsečnice dvou rovin,
vzájemná poloha přímek a rovin, úhel přímek a rovin, vzdálenosti,
poznámka o svazcích a trsech.
8. Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině:
elipsa, hyperbola, parabola.
9. Obecná teorie kuželoseček.
10.Analytická geometrie kvadratických útvarů v prostoru:
elipsoidy, hyperboloidy, paraboloidy, válcové a kuželové plochy. Poznámka
o obecných válcových, kuželových a rotačních plochách.
11.Obecná teorie kvadrik.
12.Polynomy jedné neurčité: pojem polynomu nad C, stupeň polynomu, nulový
polynom, hodnota polynomu v čísle, kořen polynomu, algoritmus dělení se
zbytkem, násobnost kořene.
13.Základní věta algebry, rozklad na ireducibilní polynomy nad C a R,
racionální kořeny polynomů nad Z, Eisensteinovo kritérium.
14.Hornerovo schéma, dělitelnost polynomů, Euklidův algoritmus, derivace
polynomu.
    Cvičení odborného základu 1. Ověřování axiomů skalárního součinu.
2. Norma vektoru, jednotkový vektor, úhel nenulových vektorů,
ortogonalita, ortonormalita, normalizace ortogonální množiny vektorů,
Gram-Schmidtův algoritmus.
3. Uspořádaná báze vektorového prostoru, souřadnicový vektor, matice
přechodu, ortogonální matice.
4. Přímé a nepřímé ortogonální matice, souvislost s ortonormálními bázemi,
vlastní hodnoty, vlastní vektory, vlastní prostory matice,
charakteristickýpolynom matice.
5. Podobnost matic, stopa matice, aritmetická a geometrická násobnost
vlastního čísla, algoritmus diagonalizace matice.
6. Algoritmus ortogonální diagonalizace matice, vektorový součin ve V3.
7. Smíšený součin ve V3, přímka v rovině a v prostoru, rovina v prostoru,
přímka v prostoru jako průsečnice dvou rovin.
8. Vzdálenosti, svazky a trsy, elipsa, hyperbola.
9. Parabola, obecná teorie kuželoseček.
10.Elipsoidy, hyperboloidy, paraboloidy, kvadratické válcové a kuželové
plochy.
11.Obecné válcové, kuželové a rotační plochy, obecná teorie kvadrik.
12.Dokončení obecné teorie kvadrik, operace s polynomy, stupeň polynomu,
hodnota polynomu v čísle, kořen polynomu.
13.Algoritmus dělení se zbytkem, násobnost kořene, rozklad na ireducibilní
polynomy nad C a R, racionální kořeny polynomů nad Z.
14.Eisensteinovo kritérium, Hornerovo schéma, Euklidův algoritmus,
derivace polynomu.
Literatura - základní:
1. Nicholson, W. K.: Elementary linear algebra with applications, , 0
2. Searle, S. R.: Matrix Algebra Useful for Statistics, , 0
Literatura - doporučená:
1. Horák, P.: Algebra a teoretická aritmetika I., , 0
2. Horák, P. - Janyška, J.: Analytická geometrie, , 0
3. Janyška, J. - Sekaninová, A.: Analytická geometrie kuželoseček a kvadrik, , 0
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
M2301-5 prezenční studium Matematické inženýrství -- zá,zk 6 Povinný 1 1 L