Aplikovaná harmonická analýza (FSI-9AHA)

Akademický rok 2020/2021
Garant: prof. Aleksandre Lomtatidze, DrSc.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština či angličtina
Cíle předmětu:
Seznámit posluchače doktorského studia s posledními výsledky moderní harmonické analýzy a možnostmi jejich využití při řešení praktických úloh funkcionálního modelování v abstraktních prostorech, zejména l^2(J) (prostory diskrétních signálů včetně obrazů), L^2(R) (prostory analogových signálů) a L^2(Omega;A;P) (stochastické lineární modely časových řad). Pozornost bude také věnována problematice hledání numericky stabilních řídkých řešení v modelech s velkým množstvím parametrů.
Výstupy studia a kompetence:
Získání základů z moderní teorie harmonické analýzy. Osvojení dovedností, které umožní studentům doktorského studia efektivní využití těchto přístupů při modelování a výzkumu reálných systémů s využitím výpočetní techniky.
Prerekvizity:
Lineární algebra, diferenciální a integrální počet, lineární funkcionální analýza.
Obsah předmětu (anotace):
Obecná teorie generujících systémů v Hilbertových prostorech: ortonormální báze (ONB), Rieszovy báze (RB), frejmy (angl frames) a reprodukční jádra.
Související operátory (rekonstrukční, diskretizační aj.). Vlastnosti a charakterizační věty. Kanonická dualita. Užitečné konstrukce a algoritmy založené na užití teorie pseudoinverzních operátorů. Speciální frejmy (Gabor, wavelet) a jejich aplikace.
Metody vyučování:
Předmět je vyučován formou přednášek nebo seminářů zaměřených na vybraná témata dané disciplíny.
Způsob a kritéria hodnocení:
Seminární referáty nebo ústní zkouška.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
Při nepřítomnosti nutnost doplnit probíranou látku samostudiem případně domácími úkoly.
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  10 × 2 hod. nepovinná                  
Osnova:
    Přednáška Volitená témata dle zaměření doktorského studia studentů:
1. Pseudoinverzní operátory v Hilbertových prostorech
2. Přechod od ortonormálních bází (ONB) k Rieszovým bázím (RB) a frejmům
3. Diskretizační, rekonstrukční, korelační a frejmový operátor
4. Charakterizace ONB, RB a frejmů. Princip duality
5. Hilbertovy prostory s reprodukčním jádrem
6. Vybrané algoritmy řešení inverzních úloh, problém numerické nestability při přeparametrizování (overcomplete frames)
7. Některé speciální prostory a jejich vlastnosti
8. Některé speciální operátory a jejich vlastnosti
9. Gaborovy frejmy
10. Waveletové frejmy
11. Analýza víceúrovňového rozlišení (angl. Multiresolution analysis)
12. Rezerva
Seminář: formou referátů studentů k tématům přidělených k samostudiu pokud možno ve vazbě na téma dizertační práce
Literatura - základní:
1. V. Veselý a P. Rajmic. Funkcionálnı́ analýza s aplikacemi ve zpracovánı́ signálů, Odborná učebnice (4.vyd.). Vysoké učenı́ technické v Brně, Brno (CZ), 2019. ISBN 978-80-214-5186-5.
2. Ch.Heil: A Basis Theory Primer, expanded edition, Birkhäuser, New York, 2011
3. O. Christensen: An Introduction to Frames and Riesz bases. Birkhäuser 2003
4. A. Teolis: Computational Signal processing with wavelets. Birkhäuser 1998
Literatura - doporučená:
1. S.S. Chen, D.L. Donoho and M. Saunders: Atomic Decomposition by Basis Pursuit, SIAM J. Sci. Comput. 20 (1998), no. 1, 33–61, reprinted in SIAM Review, 43 (2001), no. 1, pp. 129–159.
2. G.G. Walter: Wavelets and other orthogonal systems with Applications, CRC Press, Boca Raton, Florida, 1994.
3. Ch. K. Chui: An Introduction to wavelets, Wavelet Analysis and Its Applications, vol. 1, Academic Press, Inc., San Diego, CA, 1992.
4. I. Daubechies: Ten Lectures on Wavelets, Ingrid Daubechies, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, vol. 61, SIAM, Philadelphia, Pennsylvania, 1992.
5. Y. Meyer: Wavelets and operators, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 37, Cambridge University Press, Cambridge, 1992.
6. H. G. Feichtinger (ed.) and T. Strohmer (ed.), Gabor analysis and algorithms. Theory and applications, Applied and Numerical Harmonic Analysis, Birkhäuser, Boston-Basel-Berlin, 1998
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
D4P-P prezenční studium D-APM Aplikovaná matematika -- drzk 0 Doporučený kurs 3 1 L
D-APM-K kombinované studium --- bez specializace -- drzk 0 Doporučený kurs 3 1 L