Mathematical Analysis (FSI-UMA-A)

Akademický rok 2021/2022
Garant: doc. Ing. Jiří Šremr, Ph.D.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: angličtina
Cíle předmětu:
Cílem předmětu je seznámit studenty se základy vícerozměrných, křivkových a plošných integrálů, základy Taylorových a Fourierových řad a představit základními pojmy a metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Úkolem předmětu je také ukázat, že poznatky z teorie integrálů, nekonečných řad a diferenciálních rovnic se uplatňují ve fyzice, technické mechanice i jiných oborech.
Výstupy studia a kompetence:
Studenti získají po absolvování předmětu znalosti z integrálního počtu funkcí více proměnných a z teorie křivkových a plošných integrálů. Budou schopni aplikovat tyto znalosti v různých úlohách mechaniky. Naučí se posuzovat otázky konvergence nekonečných řad a možnosti rozvojů funkcí v mocninné a Fourierovy řady. Studenti také zvládnou analyticky řešit soustavy lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty a provést kvalitativní analýzu některých úloh pro soustavy nelineárních diferenciálních rovnic. Na vybraných úlohách se seznámí s konstrukcí diferenciální rovnice jako matematického modelu dané úlohy. Po absolvování kurzu budou mít studenti znalosti potřebné ke studiu fyziky, mechaniky a dalších technických disciplín.
Prerekvizity:
Lineární algebra, diferenciální počet funkcí jedné a více proměnných, integrální počet funkcí jedné proměnné, posloupnosti a nekonečné číselné řady, základy funkčních řad, obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu.
Obsah předmětu (anotace):
Předmět má seznámit studenty se základy teorie integrálního počtu funkcí více proměnných, teorie křivkových a plošných integrálů, teorie funkčních řad a teorie diferenciálních rovnic. Tyto poznatky tvoří teoretický základ potřebný pro studium fyzikálních a inženýrských disciplín. Předmět zahrnuje následující témata: Vícerozměrné integrály. Křivkové integrály. Plošné integrály. Mocninné řady. Taylorovy řady. Fourierovy řady. Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Lineární diferenciální rovnice vyšších řádů.
Metody vyučování:
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.
Způsob a kritéria hodnocení:
Podmínky udělení zápočtu: Semestrální práce obsahující řešení zadaných úloh. Aktivní účast ve cvičení (pokud kurz neprobíhá formou konzultací).

Zkouška: Zkouška prověřuje znalosti definic a vět (zejména schopnost jejich užití na vybraných úlohách) a praktickou dovednost při řešení příkladů. Zkouška se skládá z písemné a ústní části. Klasifikační hodnocení zohledňuje výsledky písemné a ústní části zkoušky.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
Účast na přednáškách je doporučená, účast na cvičeních je povinná a kontrolovaná. Výuka probíhá dle týdenních plánů rozvrhů. Stanovení způsobů náhrady zmeškané výuky je v kompetenci vedoucího cvičení.
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  13 × 3 hod. nepovinná                  
    Cvičení  13 × 2 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška 1. Dvojné integrály. Fubiniho věta. Transformace integrálů. Aplikace.

2. Trojné integrály. Fubiniho věta. Transformace integrálů. Aplikace.

3. Vektorový počet. Křivky. Křivkové integrály. Aplikace. Greenova věta. Potenciál.

4. Plochy. Plošné integrály. Aplikace. Gaussova-Ostrogradského věta. Stokesova věta.

5. Číselné řady, funkční řady - opakování. Mocninné řady.

6. Taylorovy řady. Rozvoje funkcí v mocninné řady. Trigonometrické Fourierovy řady.

7. Obyčejné diferenciální rovnice (ODR) prvního řádu - opakování. ODR vyšších řádů, základní pojmy. Struktura množiny řešení lineárních rovnic.

8. Metody řešení lineárních ODR vyšších řádů. Metoda variace konstant, metoda neurčitých koeficientů.

9. Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu, základní pojmy. Struktura množiny řešení lineárních soustav.

10. Metody řešení homogenních soustav lineárních ODR prvního řádu s konstantními koeficienty.

11. Metody řešení nehomogenních soustav lineárních ODR prvního řádu. Metoda variace konstant, metoda neurčitých koeficientů.

12. Autonomní soustavy ODR. Stabilita řešení ODR a jejich soustav.

13. Řešení ODR pomocí mocninných řad. Laplaceova transformace a její použití pro ODR.
    Cvičení 1. Dvojné integrály.

2. Trojné integrály.

3. Křivkové integrály.

4. Plošné integrály.

5. Křivkové a plošné integrály - pokračování.

6. Číselné řady, funkční řady - opakování. Mocninné řady.

7. Taylorovy řady. Rozvoje funkcí v mocninné řady.

8. Trigonometrické Fourierovy řady.

9. Analytické metody řešení lineárních ODR vyšších řádů.

10. Analytické metody řešení lineárních ODR vyšších řádů - pokračování.

11. Analytické metody řešení homogenních soustav lineárních ODR prvního řádu.

12. Analytické metody řešení homogenních soustav lineárních ODR prvního řádu - pokračování.

13. Analytické metody řešení nehomogenních soustav lineárních ODR prvního řádu.
Literatura - základní:
1. W. E. Boyce, R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations, 9th Edition, Wiley, 2008.
Literatura - doporučená:
1. W. E. Boyce, R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations, 9th Edition, Wiley, 2008.
3. J. Stewart, Calculus, 7th Edition, Cengage Learning, 2012.
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
N-ENG-A prezenční studium --- bez specializace -- zá,zk 7 Povinný 2 1 Z