Numerické metody III (FSI-SN3)

Akademický rok 2021/2022
Garant: prof. Mgr. Pavel Řehák, Ph.D.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Cíle předmětu:
Cílem předmětu je seznámit studenty se základy teorie metody konečných prvků, aby byli schopni samostatně studovat práce a knihy v tomto oboru a příbuzných oborech. Dalším cílem je pochopení algoritmizace a standardních programátorských technik používaných při implementaci metody konečných prvků.
Výstupy studia a kompetence:
Teorie Soboleových prostorů, teorie interpolace a teorie numerické integrace na konečných prvcích jsou základními matematickými prostředky metody konečných prvků. Programování algoritmů založených na lineárním trojúhelníkovém prvku je základem pro pochopení pokročilejších impelementačních technik používaných v metodě konečných prvků.
Prerekvizity:
Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných. Základy funkcionální analýzy, parciální diferenciální rovnice. Numerické metody, zejména interpolace, integrace a řešení soustav ODR. Programování v prostředí Matlabu a Visual Studia.
Obsah předmětu (anotace):
Obsahem předmětu Numerické metody III jsou matematické základy metody konečných prvků a dále také výklad vybraných algoritmů pro řešení základních inženýrských úloh metodou konečných prvků. Samotnému výkladu předchází úvod do teorie Soboleových prostorů, který tvoří základ matematického aparátu. Dále je vyložen pojem slabého řešení okrajového problému eliptické parciální diferenciální rovnice a konstrukce jeho aproximace metodou konečných prvků. Jsou probírány různé typy konečných prvků, teorie interpolace a numerické integrace v metodě konečných prvků. Je analyzována konvergence různých přibližných řešení. Pomocí lineárního trojúhelníkového prvku sestaví a odladí své vlastní programy pro řešení eliptické, parabolické a hyperbolické úlohy a úlohy vlastních čísel.
Metody vyučování:
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.
Způsob a kritéria hodnocení:
Klasifikovaný zápočet se uděluje na základě následujících podmínek: 30% týdenní úlohy na programování, 70% samostatný projekt. Za aktivní přínos ve výuce lze získat zvláštní ohodnocení. Jestliže úspěšnost měříme v procentních bodech, pak je klasifikace provedena takto: 100--90: A (výborně), 89--80: B (velmi dobře), 79--70: C (dobře), 69--60: D (uspokojivě), 59--50: E (dostatečně), 49--0: F (nevyhovující).
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
Účast na přednáškách je žádoucí, účast ve cvičeních je povinná. Výuka probíhá podle týdenních rozvrhů. Způsob náhrady zameškané výuky je plně v kompetenci cvičícího.
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  13 × 2 hod. nepovinná                  
    Cvičení s počítačovou podporou  13 × 1 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška První čtyři přednášky budou věnovány popisu algoritmu pro řešení modelové úlohy typu "stacionární vedení tepla" v rovinné polygonální oblasti pomocí lineárních trojúhelníkových konečných prvků. To umožní začít ve cvičeních od samého počátku experimentovat s programováním. Další přednášky se budou věnovat matematické teorii metody konečných prvků.
1. Klasická a variační formulace, triangulace, po částech lineární funkce.
2. Diskrétní variační formulace, elementární matice a vektory.
3. Elementární matice a vektory - pokračování.
4. Sestavení globální soustavy algebraických rovnic, její řešení, postprocessing.
5. Některé poznatky z funkcionální analýzy. Prostor W^k_2.
6. Stopy funkcí z prostoru W^k_2. Friedrichsova nerovnost a Poincareho nerovnost.
7. Bramble-Hilbertovo lemma. Sobolevova věta o vnoření.
8. Formální ekvivalence eliptického okrajového problému a příslušného
variačního problému. Existence a jednoznačnost řešení variačního problému.
9. Konečněprvkové prostory Lagrangeova typu. Definice přibližného řešení. Věta o existenci a jednoznačnosti přibližného řešení.
10. Transformace trojúhelníku na referenční trojúhelník. Vztahy mezi normami na obecném trojúhelníku a referenčním trojúhelníku.
11. Interpolační věta.
12. Numerická integrace.
13. Adaptivní techniky MKP.
    Cvičení s počítačovou podporou Cvičení probíhají u počítačů, používá se MATLAB a Visual Studio. Algoritmus pro eliptickou úlohu bude vyložen v prvních čtyřech přednáškách. Algoritmus řešení parabolické a hyperbolické úlohy a algoritmus pro výpočet vlastních čísel bude stručně vyložen ve cvičeních. Předpokládá se samostatná práce studentů při práci s učebním textem (obsahujícím detailní popis algoritmů) a při programování v MATLABu.
1-2. Programovací nástroje, úvod.
3-4. Příprava na programování eliptické úlohy (stacionární vedení tepla).
5-6. Vývoj programu eliptické úlohy, výklad algoritmu parabolické úlohy (nestacionární vedení tepla).
7-8. Vývoj programu parabolické úlohy, výklad algoritmu hyperbolické úlohy (kmitání membrány).
9-10. Vývoj programu pro hyperbolickou úlohu, výklad algoritmu pro výpočet vlatních čísel.
11-12. Vývoj programu pro výpočet vlastních čísel.
13. Rezerva cvičícího.
Literatura - základní:
4. A. Ern, J.-L. Guermond: Theory and Practice of Finite Elements, Springer Series in Applied Mathematical Sciences, Vol. 159 (2004) 530 p., Springer-Verlag, New York
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
N-MAI-P prezenční studium --- bez specializace -- kl 3 Povinný 2 1 Z