Matematika III (FSI-3M)

Akademický rok 2021/2022
Garant: prof. RNDr. Jan Čermák, CSc.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Cíle předmětu:
Cílem předmětu je seznámit studenty se základními pojmy a metodami
řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic a se
základy teorie nekonečných řad. Úkolem předmětu je ukázat, že
poznatky z teorie diferenciálních rovnic se uplatňují zejména
ve fyzice a technických vědních oborech, a že základní znalosti
nekonečných řad jsou předpokladem při řešení rozličných úloh.
Výstupy studia a kompetence:
Studenti získají po absolvování předmětu znalosti o základních typech
diferenciálních rovnic. Na vybraných úlohách se seznámí s konstrukcí
diferenciální rovnice jako matematického modelu dané úlohy, s problémy
existence a jednoznačnosti jejího řešení a s výběrem vhodné metody
řešení. Naučí se posuzovat otázky konvergence nekonečných řad
a možnosti rozvojů funkcí v Taylorovy a Fourierovy řady.
Prerekvizity:
Lineární algebra, diferenciální a integrální počet funkce jedné a více proměnných.
Obsah předmětu (anotace):
Předmět má seznámit studenty se základy teorie nekonečných řad a se základními pojmy a metodami řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Tyto poznatky tvoří nezbytný teoretický základ pro studium fyzikálních a inženýrských disciplin. Předmět zahrnuje následující témata:
Nekonečné řady. Číselné řady. Funkční řady. Mocninné řady.
Taylorovy řady a rozvoje funkcí v Taylorovy řady. Fourierovy řady a rozvoje funkcí ve Fourierovy řady.
Obyčejné diferenciální rovnice. Diferenciální rovnice prvního řádu.
Lineární diferenciální rovnice vyšších řádů. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu.
Parciální diferenciální rovnice. Klasifikace. Modelování pomocí diferenciálních rovnic.
Základní numerické metody řešení diferenciálních rovnic s vyižitím vhodného softwaru (např. Matlab).
Metody vyučování:
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.
Způsob a kritéria hodnocení:
Podmínky udělení zápočtu: Aktivní účast ve cvičení. Splnění všech
podmínek průběžné kontroly znalostí. Získání minimálně polovičního bodového ohodnocení
z každého ze dvou kontrolních zápočtových testů.

Zkouška: Zkouška prověřuje znalosti definic a vět (zejména schopnost
jejich užití na vybraných úlohách) a praktickou dovednost při řešení
příkladů. Zkouška je písemná (příp. i ústní). Písemná zkouška se skládá zejména z početních příkladů týkajících se následujících témat: Číselné a funkční řady, rozvoj dané funkce do Taylorovy řady, řešení ODR 1. řádu, řešení lineární ODR vyššího řádu, řešení soustavy lineárních ODR 1. řádu, Fourierovy řady, řešení ODR metodou nekonečných řad a pomocí Laplaceovy transformace, okrajové úlohy, základy teorie PDR. Do písemné části mohou být zařazeny též (teoretické) otázky týkající se základních pojmů.
Do klasifikačního hodnocení se zahrnuje výsledek písemné zkoušky (maximálně 65 bodů), hodnocení z ústní části (maximálně 15 bodů),
hodnocení ze cvičení (maximálně 14 bodů), a hodnocení ze cvičení s počítačovou podporou (maximálně 6 bodů).
Klasifikační hodnocení studenta: výborně (90-100 bodů), velmi dobře
(80-89 bodů), dobře (70-79 bodů), uspokojivě (60-69 bodů), dostatečně (50-59 bodů), nevyhovující (0-49 bodů).
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
Účast na přednáškách je doporučená, účast na cvičeních je povinná a kontrolovaná. Výuka probíhá dle týdenních plánů rozvrhů. Stanovení způsobů náhrady zmeškané výuky je v kompetenci vedoucího cvičení.
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  13 × 3 hod. nepovinná                  
    Cvičení  13 × 3 hod. povinná                  
    Cvičení s počítačovou podporou  13 × 1 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška 1. Číselné řady. Základní pojmy. Kritéria konvergence.
2. Operace s číselnými řadami. Funkční řady. Základní vlastnosti.
3. Mocninné řady. Taylorovy řady a rozvoje funkcí v mocninné řady.
4. Trigonometrické Fourierovy řady. Otázky konvergence a rozvoje funkcí.
5. Obyčejné diferenciální rovnice (ODR). Základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy pro ODR 1. řádu. Analytické metody řešení vybraných typů ODR 1. řádu.
6. ODR vyššího řádu. Základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy pro ODR vyššího řádu. Obecné řešení homogenní a nehomogenní lineární rovnice. Metody řešení homogenní lineární ODR vyššího řádu s konstantními koeficienty.
7. Metody řešení nehomogenní lineární ODR vyššího řádu s konstantními koeficienty.
8. Soustavy ODR 1. řádu. Základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy pro soustavy ODR 1. řádu. Obecné řešení homogenní a nehomogenní soustavy lineárních ODR 1. řádu.
9. Metody řešení homogenních soustav lineárních ODR 1. řádu s konstantními koeficienty.
10. Metody řešení nehomogenních soustav lineárních ODR 1. řádu s konstantními koeficienty.
11. Laplaceova transformace a její užití při řešení lineární ODR vyššího řádu. Využití mocninných řad při řešení ODR.
12. Stabilita řešení ODR a jejich systémů. Okrajové úlohy pro ODR 2. řádu. Parciální diferenciální rovnice. Základní pojmy. Rovnice matematické fyziky.
13. Matematické modelování pomocí diferenciálních rovnic.
    Cvičení 1. Limity a integrály-opakování.
2. Číselné řady.
3. Funkční a mocninné řady.
4. Taylorovy řady.
5. Fourierovy řady.
6. Analytické metody řešení ODR 1. řádu.
7. Analytické metody řešení ODR 1. řádu - pokračování.
8. Homogenní lineární ODR vyššího řádu.
9. Nehomogenní lineární ODR vyššího řádu.
10. Homogenní soustavy lineárních ODR 1. řádu.
11. Nehomogenní soustavy lineárních ODR 1. řádu.
12. Soustavy lineárních ODR 1. řádu - pokračování.
13. Laplaceova transformace a metoda řad při řešení ODR.
    Cvičení s počítačovou podporou Probíhá na bázi používání vhodného softwaru (např. Matlab) v počítačové učebně. Tento typ výuky je zaměřen na demonstraci užití počítače zejména u numerických metod pro řešení diferenciálních rovnic a souvisejících témat.
Literatura - základní:
1. Kalas, J., Ráb, M: Obyčejné diferenciální rovnice, PřF MU, Brno, 2012.
2. Hartman, P.: Ordinary Differential Equations, New York, 1964.
4. Boyce, W. E., DiPrima, R. C., Elementary Differential Equations, 9th Edition, Wiley, 2008. (EN)
Literatura - doporučená:
1. Kalas, J., Ráb, M: Obyčejné diferenciální rovnice, PřF MU, Brno, 2012.
2. Logan, J.D.: A First Course in Differential Equations. New York, Springer, 2006.
2. Čermák, J., Nechvátal, L.: Matematika III, Brno, 2016.
3. Čermák, J.: Sbírka příkladů z Matematické analýzy III a IV, Brno, 1998.
5. Boyce, W. E., DiPrima, R. C., Elementary Differential Equations, 9th Edition, Wiley, 2008.
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
B-ZSI-P prezenční studium STI Základy strojního inženýrství -- zá,zk 8 Povinný 1 2 Z
B-ZSI-P prezenční studium MTI Materiálové inženýrství -- zá,zk 8 Povinný 1 2 Z
B-MET-P prezenční studium --- bez specializace -- zá,zk 8 Povinný 1 2 Z