Diferenciální geometrie (FSI-SDG)

Akademický rok 1999/2000
Garant: prof. RNDr. Miroslav Doupovec, CSc., dr. h. c.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Cíle předmětu:
Cílem kursu "Diferenciální geometrie a tenzorový počet" je naučit
studenty využívat aparátu a hlavních výsledků tenzorového počtu a
klasické diferenciální geometrie, aby byli schopni je aplikovat v různých
disciplínách, zejména v mechanice a fyzice. Úkolem předmětu je, aby
si studenti uvědomili, že tenzorový počet tvoří matematický aparát řady
oborů a že dif. geometrie je předpokladem zvládnutí řady problémů.
Výstupy studia a kompetence:
Předmět "Diferenciální geometrie a tenzorový počet" umožňuje
studentům získat znalosti o hlavních pojmech a metodách tenzorového
počtu a klasické diferenciální geometrie. Jedná se zejména o operace
s tenzory, o symetrické tenzory 2. stupně s konkrétními aplikacemi v
mechanice, o teorii rovinných a prostorových křivek a o teorii ploch.
Prerekvizity:
 
Obsah předmětu (anotace):
Předmět "Diferenciální geometrie a tenzorový počet" má seznámit
studenty se základními pojmy a výsledky tenzorového počtu a klasické
diferenciální geometrie křivek a ploch, aby byli schopni je aplikovat v
dalších disciplínách.
V části věnované tenzorovému počtu si studenti osvojí zejména ty partie,
které mají aplikace ve fyzice a v mechanice. Pozornost je rovněž
věnována operacím s tenzory.
V diferenciální geometrii se jedná o klasickou teorii křivek a ploch.
Zvláštní pozornost se věnuje invariantům křivek (křivost a torze) při
popisu rovinných a prostorových křivek a dále invariantům ploch
(první a druhá základní forma plochy). Do kursu je rovněž zařazen
popis nejdůležitějších křivek a ploch se zřetelem k technickým aplikacím.
Metody vyučování:
 
Způsob a kritéria hodnocení:
Podmínky pro udělení zápočtu: Aktivní účast ve cvičení.
Zkouška: Těžiště zkoušky tvoří její písemná část v rozsahu 120 minut.
Budou zadány otázky, jejichž cílem je prověřit schopnost studentů
aplikovat získané znalosti při řešení konkrétních problémů.
Výběr příkladů k písemce je proveden tak, aby pokryly látku celého
semestru.
Následuje ústní část zkoušky. Její první částí je diskuse nad výsledky
písemky. Poté následuje položení teoretické otázky.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
 
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  14 × 2 hod. nepovinná                  
    Cvičení odborného základu  14 × 1 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška 1. Lineární, bilineární a kvadratické formy.
2. Tenzory, operace s tenzory.
3. Symetrické tenzory druhého stupně a jejich aplikace.
4. Definice křivky, reparametrizace.
5. Styk křivek, rovinné křivky.
6. Oblouk jako parametr, Frenetovy vzorce rovinné křivky.
7. Pojem plochy, tečná rovina plochy, prostorové křivky.
8. Frenetovy vzorce prostorové křivky.
9. Křivost a torze prostorové křivky.
10. První základní forma plochy.
11. Druhá základní forma plochy.
12. Hlavní směry, Gaussova a střední křivost plochy.
13. Vnitřní geometrie plochy.
14. Geodetické křivky na ploše.
    Cvičení odborného základu Cvičení sleduje přednášku v týdenním odstupu.
Literatura - základní:
1. M. A. Akivis, V. V. Goldberg: An Introduction to Linear Algebra and Tensors, Dover Publications, New York, 1972
2. Manfredo P. do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces (Prentice Hall, Inc. 1976)
3. A. Pressley: Elementary Differential Geometry, Springer- Verlag, 2012
Literatura - doporučená:
1. M. Doupovec : Diferenciální geometrie a tenzorový počet (skriptum VUT)
2. I. Kolář, L. Pospíšilová: Diferenciální geometrie křivek a ploch, elektronické skriptum MU
3. Boček L.: Tenzorový počet (SNTL Praha)
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
M2301-5 prezenční studium Matematické inženýrství -- zá,zk 4 Povinný 2 1 L