Obyčejné diferenciální rovnice v mechanice (FSI-SRM)

Cíl kurzu: Cílem předmětu je seznámit studenty se základy kvalitativní teorie obyčejných diferenciálních rovnic, dynamických systémů a analytické mechaniky. Úkolem je také studentům ukázat použití teoretických výsledků v analýze diferenciálních rovnic objevujících se v matematických modelech v mechanice, přičemž vhodně interpretovat získané poznatky, avšak dbát na korektní matematickou argumentaci.

Získané znalosti a dovednosti: Po absolvování předmětu studenti zvládnou použít teoretický matematický aparát v analýze diferenciálních rovnic objevujících se ve vybraných matematických modelech v mechanice. Budou schopni sestavit pohybové rovnice jednodušších mechanických soustav a posoudit otázku stability a typu ekvilibrií získaných obecně nelineárních autonomních soustav diferenciálních rovnic. Na vybraných úlohách z mechaniky i jiných disciplín se seznámí s možnostmi matematického modelování pomocí obyčejných diferenciálních rovnic. 

V oblasti matematiky: Lineární algebra, diferenciální počet funkcí jedné a více proměnných, integrální počet funkcí jedné proměnné, analytické metody řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic a jejich soustav.

V oblasti mechaniky: Vektorové vyjádření sil a momentů. Principy uvolňování těles. Potenciální a kinetická energie.

Předmět seznámí studenty se základy kvalitativní teorie obyčejných diferenciálních rovnic, zejména s otázkami existence, jednoznačnosti a prodloužitelnosti řešení počátečních úloh pro nelineární neautonomní soustavy diferenciálních rovnic prvního řádu. V rámci tohoto předmětu budou probrány také otázky stability řešení neautonomních soustav a jejich speciálních případů a základy teorie dynamických systémů. Budou také připomenuty základy klasické mechaniky (kinematika a dynamika hmotného bodu, tuhého tělesa a soustav tuhých těles, Lagrangeovy rovnice) potřebné k sestavení pohybových rovnic jednodušších mechanických soustav. Vybudovaný matematický aparát bude použit v analýze obyčejných diferenciálních rovnic objevujících se ve vybraných matematických modelech z mechaniky, přičemž v jejich analýze bude kladen důraz na přesnou matematickou argumentaci. Jedná se zejména o modely kmitání lineárních a nelineárních mechanických soustav s jedním i více stupni volnosti.

Účast na přednáškách je doporučená, účast na cvičeních je povinná a kontrolovaná. Stanovení způsobů náhrady zmeškané výuky je v kompetenci vyučujícího.

Podmínky udělení zápočtu: Aktivní účast ve cvičeních, úspěšné absolvování písemného testu (tj. je potřeba získat alespoň polovinu z maximálního počtu bodů).

Zkouška: Bude probíhat ústní formou, prověřuje znalosti definic a vět (zejména schopnost jejich užití na vybraných úlohách). Detailní informace budou oznámeny na konci semestru.

Stabilita řešení lineárních soustav ODR, Lyapunovy exponenty, stabilita řešení kvazilineárních soustav.
Počáteční úloha pro nelineární soustavy ODR: Existence, jednoznačnost a prodloužitelnost řešení.
Struktura množiny řešení počáteční úlohy pro nelineární soustavy ODR, integrální trychtýř.
Stabilita řešení nelineárních soustav ODR, přímá Lyapunovova metoda.
Autonomní soustavy ODR: Fázová trajektorie, fázový portrét, ekvilibrium a jeho stabilita.
Planární nelineární autonomní soustavy ODR: Stabilita a klasifikace ekvilibrií, linearizace.
Hamiltonovské systémy, nelineární autonomní diferenciální rovnice 2. řádu.
Základní pojmy z kinematiky a dynamiky pohybu hmotného bodu a soustav bodových těles.
Kinematika a dynamika jednoduchých pohybů tuhých těles.
Úvod do analytické mechaniky, Lagrangeovy rovnice.
Lineární kmitání s 1 stupněm volnosti, různé druhy tlumení.
Nelineární kmitání s 1 stupněm volnosti, matematické a fyzikální kyvadlo.
Lineární a kmitání s více stupni volnosti.
Modelování pohybu dislokací v krystalech.

Analytická řešení vybraných typů nelineárních ODR 1. řádu.
Stabilita lineárních soustav ODR s konstantní maticí, Hurwitzovo kritérium.
Implicitní diferenciální rovnice: Lagrangeova a Clairotova rovnice.
Geometrické úlohy vedoucí k analytickému řešení ODR.
Eulerova diferenciální rovnice v řešení napjatosti tlustostěnných nádob a deformace kruhové desky.
Základní pojmy z kinematiky a dynamiky pohybu hmotného bodu a soustav bodových těles.
Kinematika a dynamika jednoduchých pohybů tuhých těles.
Rovnice řetězovky.
Planární autonomní soustavy: Stabilita a klasifikace ekvilibrií, fázový portrét.
Nelineární autonomní diferenciální rovnice 2. řádu: Stabilita a klasifikace ekvilibrií, fázový portrét.