Matematické modelování kontinua (FSI-9MMK)

Akademický rok 2025/2026
Garant: prof. RNDr. Jan Franců, CSc.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Cíle předmětu:

Cílem kurzu je seznámit posluchače s matematickým modelováním pomocí parciálních diferenciálních rovnic širšího spektra inženýrských úloh pro kontinuum: pružnost, kondukce, konvekce, lineární i nelineární modely a sdružené úlohy. Naučit studenty formulovat základní úlohy včetně počátečních a okrajových a dalších podmínek, vědět, kde jsou zdroje chyb. Připravit je tak ke kritickému přístupu k využívání výpočetních systémů např. MATLAB, ANSYS, atd.  
Výstupy studia a kompetence:
 
Prerekvizity:

Vektory a matice, diferenciální a integrální počet více proměnných, obyčejné diferenciální rovnice. Vhodné absolvování předmětu 9RF1 Rovnice matematické fyziky.
Obsah předmětu (anotace):

Pojem kontinua a jeho popis, souřadnice, veličiny a formulace úloh. Matematické prostředky: diferenciální rovnice, klasické, zobecněné a přibližné řešení. Prostory integrovatelných funkcí a integrální funkcionály.

Odvození rovnic kondukce, lineární a nelineární pružnosti. Pružné, vazké a plastické chování. Modelování heterogenního materiálu, homogenizace a sdružené úlohy.

Mechanika tekutin, odvození rovnic přenosu a Navierových-Stokesových rovnic. Sdružené úlohy: proudění s tepelnými jevy.

Existence, jednoznačnost a stabilita zobecněných řešení. Podmínky existence minima integrálního funkcionálu. Základní numerické metody: konečných prvků a konečných objemů, adaptivní metody. 
Metody vyučování:
 
Způsob a kritéria hodnocení:

Zkouška se skládá z praktické a teoretické části. Praktická část: matematická formulace konkrétní inženýrské úlohy. Teoretická část: 3-5 otázek z probrané látky. V případě absence student si musí doplnit zameškanou látku samostudiem z literatury.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
 
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  10 × 2 hod. nepovinná                  
Osnova:
    Přednáška

Přednášky



  1. Pojem kontinua a jeho popis, souřadnice a veličiny, druhy úloh.

  2. Matematické prostředky: diferenciální rovnice, klasická a zobecněná řešení.

  3. Zákony zachování a konstituční vztahy. Lineární úlohy, odvození rovnice vedení tepla v tělese, formulace počáteční okrajové úlohy.

  4. Popis deformace a napětí v tělese, lineární a nelineární pružnost, Piolova transformace. Sdružené úlohy.

  5. Minimalizace integrálního funkcionálu, podmínky zobecněné konvexnosti.

  6. Heterogenní materiál: podmínky přechodu, homogenizace.

  7. Modely pružného, vazkého a plastického materiálu – hystereze.

  8. Modelování tekutin: souřadnice, veličiny. Odvození rovnic přenosu hmoty a tepla a Navierových Stokesových rovnic.

  9. Zobecněná formulace rovnic proudění.

  10. Metoda konečných prvků a konečných objemů, adaptivní metody.
Literatura - základní:
1.

M. Brdička, L. Samek, B. Sopko: Mechanika kontinua, Academia, Praha 2000.
2.

J. Nečas, I. Hlaváček: Úvod do matematické teorie pružných a pružně-plastických těles, SNTL Praha 1983
3.

P. G. Ciarlet: Mathematical elasticity Volume I: Three-dimensional elasticity, North-Holland, Amsterdam 1988 
4. M Feistauer: Mathematical methods in fluid dynamics, Longman Scientific and Technical, Harlow 1993
5.

A. Kufner, O. John, S. Fučík: Function spaces, Academia, Prague 1977.
6.

A. Ženíšek: Sobolev Spaces and Their Applications in the Finite Element Method. VUTIUM, Brno, 2005.
Literatura - doporučená:
1.

J. Franců: Parciální diferenciální rovnice, CERM, Brno 2011
2.

J. Franců: Moderní metody řešení diferenciálních rovnic, CERM, Brno 2006
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
D-APM-P prezenční studium --- bez specializace -- drzk 0 Doporučený kurs 3 1 Z