Matematika III (FSI-3M-K)

Akademický rok 2019/2020
Garant: prof. RNDr. Jan Čermák, CSc.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Cíle předmětu:
Cílem předmětu je seznámit studenty se základními pojmy a metodami
řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic a se
základy teorie nekonečných řad. Úkolem předmětu je ukázat, že
poznatky z teorie diferenciálních rovnic se uplatňují zejména
ve fyzice a technických vědních oborech, a že základní znalosti
nekonečných řad jsou předpokladem při řešení rozličných úloh.
Výstupy studia a kompetence:
Studenti získají po absolvování předmětu znalosti o základních typech
diferenciálních rovnic. Na vybraných úlohách se seznámí s konstrukcí
diferenciální rovnice jako matematického modelu dané úlohy, s problémy
existence a jednoznačnosti jejího řešení a s výběrem vhodné metody
řešení. Naučí se posuzovat otázky konvergence nekonečných řad
a možnosti rozvojů funkcí v Taylorovy a Fourierovy řady.
Prerekvizity:
Lineární algebra, diferenciální a integrální počet funkce jedné a více proměnných.
Obsah předmětu (anotace):
Předmět má seznámit studenty se základy teorie nekonečných řad a se základními pojmy a metodami řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Tyto poznatky tvoří nezbytný teoretický základ pro studium fyzikálních a inženýrských disciplin. Předmět zahrnuje následující témata:
Nekonečné řady. Číselné řady. Funkční řady. Mocninné řady.
Taylorovy řady a rozvoje funkcí v Taylorovy řady. Fourierovy řady a rozvoje funkcí ve Fourierovy řady.
Obyčejné diferenciální rovnice. Diferenciální rovnice prvního řádu.
Lineární diferenciální rovnice vyšších řádů. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu.
Parciální diferenciální rovnice. Klasifikace.
Metody vyučování:
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.
Způsob a kritéria hodnocení:
Podmínky udělení zápočtu: Aktivní účast ve cvičení. Splnění všech
podmínek průběžné kontroly znalostí. Získání minimálně poloviny všech možných 20 bodů
z obou kontrolních prací, z nichž první se koná v osmém a
druhá ve třináctém výukovém týdnu. Pokud student tuto podmínku
nesplní, lze v odůvodněných případech stanovit podmínku náhradní.

Zkouška: Zkouška prověřuje znalosti definic a vět (zejména schopnost
jejich užití na vybraných úlohách) a praktickou dovednost při řešení
příkladů. Zkouška je písemná (příp. i ústní). Písemná zkouška se skládá z testové části (8 příkladů) a praktické části (4 příklady).
Témata testové části: Číselné a funkční řady, Fourierovy řady, ODR a jejich vlastnosti, řešení ODR metodou nekonečných řad a pomocí Laplaceovy transformace, jednoduchá fyzikální úloha, základy teorie PDR.
Témata praktické části: Rozvoj dané funkce do Taylorovy řady, řešení ODR 1. řádu, řešení lineární ODR vyššího řádu, řešení soustavy lineárních ODR 1. řádu.
Do klasifikačního hodnocení se zahrnuje výsledek písemné zkoušky (maximálně 75 bodů), hodnocení ze cvičení (maximálně 20 bodů) a hodnocení ze cvičení s počítačovou podporou (maximálně 5 bodů).
Klasifikační hodnocení studenta: výborně (90-100 bodů), velmi dobře
(80-89 bodů), dobře (70-79 bodů), uspokojivě (60-69 bodů), dostatečně (50-59 bodů), nevyhovující (0-49 bodů).
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
Účast na přednáškách je doporučená, účast na cvičeních je povinná a kontrolovaná. Výuka probíhá dle týdenních plánů rozvrhů. Stanovení způsobů náhrady zmeškané výuky je v kompetenci vedoucího cvičení.
Typ (způsob) výuky:
    Konzultace v kombinovaném studiu  1 × 30 hod. nepovinná                  
    Řízené samostudium  1 × 61 hod. povinná                  
Osnova:
    Konzultace v kombinovaném studiu 1. Číselné řady. Základní pojmy. Kritéria konvergence.
2. Operace s číselnými řadami. Funkční řady. Základní vlastnosti.
3. Mocninné řady. Taylorovy řady a rozvoje funkcí v mocninné řady.
4. Trigonometrické Fourierovy řady. Otázky konvergence a rozvoje funkcí.
5. Obyčejné diferenciální rovnice (ODR). Základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy pro ODR 1. řádu. Analytické metody řešení vybraných typů ODR 1. řádu.
6. Soustavy ODR 1. řádu. Základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy pro soustavy ODR 1. řádu. Struktura množiny řešení homogenní a nehomogenní soustavy lineárních ODR 1. řádu. Metoda variace konstant.
7. ODR vyššího řádu. Základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy pro ODR vyššího řádu. Metody řešení homogenní lineární ODR vyššího řádu s konstantními koeficienty.
8. Metody řešení nehomogenní lineární ODR vyššího řádu s konstantními koeficienty.
9. Metody řešení homogenních soustav lineárních ODR 1. řádu s konstantními koeficienty.
10. Metody řešení nehomogenních soustav lineárních ODR 1. řádu s konstantními koeficienty.
11. Laplaceova transformace a její užití při řešení lineární ODR vyššího řádu. Využití mocninných řad při řešení ODR.
12. Stabilita řešení ODR a jejich systémů. Okrajové úlohy pro ODR 2. řádu. Parciální diferenciální rovnice. Základní pojmy. Rovnice matematické fyziky.
13. Matematické modelování pomocí diferenciálních rovnic.
    Řízené samostudium 1. Limity a integrály-opakování.
2. Číselné řady.
3. Funkční a mocninné řady.
4. Taylorovy řady.
5. Fourierovy řady.
6. Analytické metody řešení ODR 1. řádu.
7. Pokračování předcházejícího cvičení.
8. Homogenní lineární ODR vyššího řádu.
9. Nehomogenní lineární ODR vyššího řádu.
10. Laplaceova transformace při řešení lineárních ODR.
11. Homogenní soustavy lineárních ODR 1. řádu.
12. Nehomogenní soustavy lineár. ODR 1. řádu.
13. Fourierova metoda řešení PDR.
Literatura - základní:
1. Fichtengolc, G.M.: Kurs differencialnogo i integralnogo isčislenija, tom II, Moskva, 1966.
2. Fichtengolc, G.M.: Kurs differencialnogo i integralnogo isčislenija, tom III, Moskva, 1966.
3. Hartman, P.: Ordinary Differential Equations, New York, 1964.
Literatura - doporučená:
1. Čermák, J., Nechvátal, L.: Matematika III, Brno, 2016.
2. Ženíšek, A.: Vybrané kapitoly z matematické analýzy, Brno, 1997.
3. Čermák, J.: Sbírka příkladů z Matematické analýzy III a IV, Brno, 1998.
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
M2I-K kombinované studium M-STG Strojírenská technologie P pro absolventy B-STG zá,zk 8 Povinný 2 1 Z
M2I-K kombinované studium M-AIŘ Aplikovaná informatika a řízení P pro absolventy B-AIŘ zá,zk 8 Povinný 2 1 Z
M2I-K kombinované studium M-STM Strojírenská technologie a průmyslový management P pro absolventy B-STG zá,zk 8 Povinný 2 1 Z
M2I-K kombinované studium M-VSR Výrobní stroje, systémy a roboty P pro absolventy B-SSZ zá,zk 8 Povinný 2 1 Z
B3S-K kombinované studium B-KSB Kvalita, spolehlivost a bezpečnost -- zá,zk 8 Povinný 1 2 Z