Invarianty a symetrie (FSI-9ISY)

Akademický rok 2020/2021
Garant: doc. RNDr. Miroslav Kureš, Ph.D.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština či angličtina
Cíle předmětu:
Cílem je zvládnout nástroje diferenciální geometrie pro řešení problémů invariance v aplikacích.
Výstupy studia a kompetence:
Student bude mít přehled o základních pojmech a výsledcích moderní diferenciální geometrie. Bude schopen je využívat v problémech řešení diferenciálních rovnic, problémech variačního počtu a fyziky.
Prerekvizity:
Znalosti z lineární algebry a algebry, zejména z vektorových prostorů a teorie grup.
Obsah předmětu (anotace):
Předmět je zaměřen na užití geometrických metod v problémech diferenciálních rovnic a fyziky. Studium symetrií a problémů s ekvivalencí vyžaduje řadu nástrojů a technik, z nichž mnohé mají svůj původ v diferenciální geometrii. Proto naše studium diferenciálních rovnic a variačních problémů bude mít v podstatě geometrický charakter, na rozdíl od analytických metod. Začneme diferenciálními varietami a Lieovými grupami, podstatná bude metoda pohyblivých reperů. Budeme se soustředit jak na globálně geometrický pohled, tak také i na výpočty v lokálních souřadnicích. Zvláštní pozornost bude věnována nelineárním problémům. Budeme studovat také kalibrační invarianty v souvislosti s Maxwellovými rovnicemi a dále s kvantovou teorií pole.
Metody vyučování:
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny.
Způsob a kritéria hodnocení:
Ústní zkouška prověří znalosti základních pojmů a vět a praktickou dovednost při řešení geometrických a fyzikálních úloh.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
Přednášky: doporučené
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  10 × 2 hod. nepovinná                  
Osnova:
    Přednáška 1. Hladké variety, vektorová pole
2. Distribuce a foliace
3. Lieovy grupy a algebry
4. Reprezentace
5. Jety a kontaktní elementy
6. Diferenciální invarianty
7. Symetrie diferenciálních rovnic
8. Vybrané nelineární problémy
9. Klasická a kvantová teorie pole
10. Kalibrační invarianty
Literatura - základní:
1. Olver, P. J., Equivalence, invariants and symmetry. Cambridge University Press, 1995
2. Mansfield, E. L., A practical guide to the invariant calculus. Cambridge University Press, 2010
3. Bocharov, A. V., Verbovetsky, A. M., Vinogradov, A. M., Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics. Providence, RI: American Mathematical Society, 1999
4. Healey, Richard. Gauging what's real: The conceptual foundations of contemporary gauge theories. Oxford University Press on Demand, 2007
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
D4P-P prezenční studium D-APM Aplikovaná matematika -- drzk 0 Doporučený kurs 3 1 L
D-APM-K kombinované studium --- bez specializace -- drzk 0 Doporučený kurs 3 1 L