Metody diskrétní matematiky (FSI-SDM)

Akademický rok 2021/2022
Garant: prof. RNDr. Josef Šlapal, CSc.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Cíle předmětu:
Cílem předmětu je seznámit studenty s obvyklými metodami diskrétní matematiky užívanými v nejrůznějších aplikacích, např. v informatice při konstrukci a popisu činnosti počítače a při přenosu informace. Absolvováním kurzu získají studenti další důkaz toho, že vedle spojité matematiky je také matematika diskrétní základní vědní disciplínou, jejíž zvládnutí je nutným předpokladem pro úspěšnou tvůrčí činnost inženýra.
Výstupy studia a kompetence:
V kurzu získají studenti základní znalosti o chování uspořádaných mno-
žin a svazů, zejména Booleových algeber. Naučí se minimalizovat boole-
ovské funkce a realizovat je logickými obvody. Dále se seznámí s nej-
častejšími typy konečných automatů a s jejich vlastnostmi, s regulární-
mi jazyky a s problémem determinismu. Nakonec pak také získají předsta-
vu o základních problémech spojených s kódováním a dekódováním
zpráv.
Prerekvizity:
Předpokládá se pouze středoškolská znalost teorie množin.
Obsah předmětu (anotace):
Předmět Metody diskrétní matematiky seznamuje studenty se základními oblastmi teorie množin, diskrétní matematiky a aplikované algebry. První oblastí jsou relace mezi množinami a na množině s důrazem na upořádané množiny. Další oblast zahrnuje axion výběru a kardinální a ordinální čísla. Poté je pozornost věnována teorii svazů, přičemž hlavní důraz je kladen na Booleovy algebry. Pak následuje algebraická teorie automatů a formálních jazyků. Poslední oblastí je pak úvod do teorie kódování. Ve všech oblastech se tedy jedná o poznatky tvořící teoretické základy informatiky. Vzhledem k rozvoji využití vypočetní techniky ve všech inženýrských odvětvích jsou získané vědomosti pro absolventy oboru matematické inženýrství nezbytné.
Metody vyučování:
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách formou řešení problémů a cvičení.
Způsob a kritéria hodnocení:
Podmínkou pro zápočet je aktivní účast ve cvičeních a prokázání znalostí
při písemných testech, které budou průběžně konány. V písemné části
zkoušky je třeba prokázat schopnost řešit zadaný problém na základě
získaných vědomostí, v její ústní části pan zvládnutí probrané teorie.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
Cvičení jsou povinná a vyučující bude pravidelně kontrolovat účast. V případě omluvené nepřítomnosti budou studentovi zadány příklady tak, aby se mohl zameškanou látku doučit.
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  13 × 2 hod. nepovinná                  
    Cvičení  13 × 2 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška 1. Relace mezi množinami a na množině
2. Tolerance, ekvivalence, předuspořádání a uspořádání
3. Uspořádané množiny
4. Axiom výběru a věty s ním ekvivalentní
5. Ordinální a kardinální čísla
6. Svazy, ireducibilita, ideály a filtry
7. Booleovy svazy a funkce, aplikace
8. Úplné svazy, uzávěrové operátory
9. Galoisova konexe, Dedekind-MacNeillovo zúplnění
10.Formální jazyky
11.Konečné automaty
12.Gramatiky
13.Samoopravné kódy
    Cvičení 1. Relace mezi množinami a na množině
2. Tolerance, ekvivalence, předuspořádání a uspořádání
3. Uspořádané množiny
4. Axiom výběru a věty s ním ekvivalentní
5. Ordinální a kardinální čísla
6. Svazy, ireducibilita, ideály a filtry
7. Booleovy svazy a funkce, aplikace
8. Úplné svazy, uzávěrové operátory
9. Galoisova konexe, Dedekind-MacNeillovo zúplnění
10.Formální jazyky
11.Konečné automaty
12.Gramatiky
13.Samoopravné kódy
Literatura - základní:
1. N.L.Biggs, Discrete Mathematics, Oxford Univ. Press, 1999.
2. M.Piff, Discrete Mathematics, Cambridge Univ. Press, 1991.
3. A.D.Polimeni and H.J.Straight, Foundations of Discrete Mathematics, Brooks/Cole Publ. Comp., Pacific Grove, California, 1990.
4. D.R.Hankerson at al.: Coding Theory and Cryptography, Marcel Dekker, Inc., New York -Basel, 2000.
5. Steven Roman, Lattices and Ordered Sets, Springer, 2008.
Literatura - doporučená:
1. F. Preparata, R. Yeh: Úvod do teórie diskrétnych matematických štruktúr, Alfa, Bratislava, 1982.
2. M. Demlová, V. Koubek: Algebraická teorie automatů, SNTL, Praha, 1990.
3. J. Kopka: Svazy a Booleovy algebry, Univerzita J.E.Purkyně v Ústí nad Labem, 1991.
4. M.Novotný, S algebrou od jazyka ke gramatice a zpět, Academia, Praha, 1988.
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
B-MAI-P prezenční studium --- bez specializace -- zá,zk 6 Povinný 1 2 Z