Fourierova analýza (FSI-SFA-A)

Akademický rok 2021/2022
Garant: prof. Aleksandre Lomtatidze, DrSc.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: angličtina
Cíle předmětu:
Seznámit a naučit studenty pracovat se základními pojmy a metodami Fourierovy analýzy, které jsou využívány v dalších matematických předmětech.
Výstupy studia a kompetence:
Znalost základních pojmů a metod Fourierovy analýzy, zejména Fourierových řad, Fourierovy a Laplaceovy transformace a schopnost tyto pojmy prakticky využívat.
Prerekvizity:
Matematická analýza, základy lineární funkcionální analýza, míra a integrál.
Obsah předmětu (anotace):
Předmět se zabývá základními pojmy Fourierovy analýzy a její ilustrací na konkrétních příkladech. Jsou především probrány otázky reprezentace funkcí pomocí trigonometrického systému, Fourierova a Laplaceova transformace, jejich vlastnosti a aplikace.
Metody vyučování:
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.
Způsob a kritéria hodnocení:
Účast na cvičení je povinná.
Zápočet: aktivní účast ve cvičeních, úspěšné napsání kontrolní práce.
Zkouška - praktická část: ilustrace pojmů na konkrétních příkladech.
Teoretická část: otázky z přednesené látky.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
V případě nepřítomnosti si student musí doplnit zameškanou látku samostudiem z literatury.
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  13 × 2 hod. nepovinná                  
    Cvičení  13 × 1 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška 1. Prostor integrovatelných funkcí - definice a základní vlastnosti, husté podmnožiny, věty o limitních přechodech.
2. Prostor kvadraticky integrovatelných funkcí - konvergence v průměru druhého stupně, Fourierova řada.
3. Singulární integrály - definice, věta o reprezentaci, aplikace pro Fourierovy řady.
4. Trigonometrické řady.
5. Fourierův integrál.
6. Fourierova transformace - Fourierova transformace (FT), inverzní vzorec, základní vlastnosti FT, úplnost systému Hermitových a Laguerových funkcí, FT a konvoluce funkcí, aplikace.
7. Plancherelova věta, Hermitovy funkce.
8. Laplacova transformace.
    Cvičení 1. Prostor integrovatelných funkcí - definice a základní vlastnosti, husté podmnožiny, věty o limitních přechodech.
2. Prostor kvadraticky integrovatelných funkcí - konvergence v průměru druhého stupně, Fourierova řada.
3. Singulární integrály - definice, věta o reprezentaci, aplikace pro Fourierovy řady.
4. Trigonometrické řady.
5. Fourierův integrál.
6. Fourierova transformace - Fourierova transformace (FT), inverzní vzorec, základní vlastnosti FT, úplnost systému Hermitových a Laguerových funkcí, FT a konvoluce funkcí, aplikace.
7. Plancherelova věta, Hermitovy funkce.
8. Laplacova transformace.
Literatura - základní:
1. I. P. Natanson: Teorija funkcij veščestvennoj peremennoj, [Theory of functions of a real variable] ,Third edition, "Nauka'', Moscow, 1974.
2. A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, SNTL, Praha 1975.
3. E. W. Howel, B. Keneth: Principles of Fourier Analysis, CRC Press, 2001.
5. L. Grafakos, Classical Fourier Analysis: Third edition, Graduate Texts in Mathematics, 249. Springer, New York, 2014.
Literatura - doporučená:
3. E. M. Stein´, G. Weiss: Introduction to Fourier Analysis on Eucledian spaces, Princeton University Press, 1971
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
N-AIM-A prezenční studium --- bez specializace -- kl 4 Povinný 2 2 L
N-MAI-A prezenční studium --- bez specializace -- kl 4 Povinný 2 2 L
M2A-A prezenční studium M-MAI Matematické inženýrství -- kl 4 Povinný 2 2 L
N-MAI-P prezenční studium --- bez specializace -- kl 4 Povinný 2 1 L
N-MAI-A prezenční studium --- bez specializace -- kl 4 Povinný 2 1 L