Funkcionální analýza II (FSI-SU2-A)

Akademický rok 2021/2022
Garant: prof. Aleksandre Lomtatidze, DrSc.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: angličtina
Cíle předmětu:
Seznámit posluchače s hlavními výsledky lineární funkcionální analýzy a jejich použitím při řešení úloh matematického modelovaní.
Výstupy studia a kompetence:
Znalost základů funkcionální analýzy, teorie prostorů a teorie lineárních operátorů. Znalost řešení úloh zejména v Hilbertových prostorech, znalost řešení úloh pomocí abstraktních Fourierových řad a Fourierovy transformace.
Prerekvizity:
Diferenciální a integrální počet. Základy lineární algebry, Fourierovy analýzy a funkcionální analýzy.
Obsah předmětu (anotace):
Opakování látky z Funkcionální analýzy I. Teorie ohraničených lineárních operátorů.
Kompaktní množiny a operátory. Inverze a pseudoinverze ohraničených lineárních operátorů.
Úplné systémy: ortonormální báze, Rieszovy báze a framy.
Spektrální teorie samoadjungovaných kompaktních operátorů.
Metody vyučování:
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.
Způsob a kritéria hodnocení:
Podmínkou k udělení zápočtu je aktivita na cvičení spočívající v řešení předepsaných úkolů/problémů, případně v samostatném hlubším zpracovaní vybraných témat.
Účast na cvičení je povinná. Zkouška v řádném termínu je písemná nebo ústní. Zkoušky v opravném nebo náhradním termínu pouze ústní. Cílem zkoušky je ověření základních teoretických znalostí studenta a jeho schopnosti získané poznatky samostatně a tvůrčím způsobem aplikovat.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
Při nepřítomnosti nutnost doplnit probíranou látku samostudiem případně domácími úkoly.
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  13 × 2 hod. nepovinná                  
    Cvičení  13 × 1 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška 1. Opakování: topologické, metrické, normované lineární a prostory s vnitřním součinem, přímý součet a faktorprostor
2. Opakování: duální prostory, spojité lineární funkcionály, Hahn-Banachova věta, slabá konvergence
3. Opakování: Fourierovy řady, Fourierova transformace a konvoluce
4. Ohraničené lineární operátory a hlavní tvrzení o nich.
5. Adjungované a samodajungované operátory včetně ortogonální projekce
6. Rieszova věta o reprezentaci a Banach-Steinhausova věta
7. Unitární operátory, kompaktní množiny a kompaktní operátory
8. Inverze ohraničených lineárních operátorů v Banachově a Hilbertově prostoru
9. Pseudoinverze ohraničených lineárních operátorů v Hilbertově prostoru
10. Úplné systémy: ortonormální báze, Rieszovy báze a framy
11. Spektrální teorie samoadjungovaných kompaktních operátorů, Hilbertova-Schmidtova věta
12. Příklady a aplikace zejména z oblasti Fourierovy analýzy a zpracování signálů
13. Rezerva
    Cvičení Opakování látky z Funkcionální analýzy I. a procvičování látky z přednášek samostatným řešením vybraných úloh a problémů.
Literatura - základní:
1. V. Veselý a P. Rajmic. Funkcionálnı́ analýza s aplikacemi ve zpracovánı́ signálů. Odborná učebnice. Vysoké učenı́ technické v Brně, Brno (CZ), 2015. ISBN 978-80-214-5186-5.
2. Ch.Heil: A Basis Theory Primer, expanded edition, Birkhäuser, New York, 2011.
3. A.E.Taylor: Úvod do funkcionální analýzy. Academia, Praha 1973.
4. A.N.Kolmogorov, S.V.Fomin: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, SNTL, Praha 1975.
5. L.Debnath, P.Mikusinski: Introduction to Hilbert spaces with Applications. 2-nd ed., Academic Press, London, 1999.
Literatura - doporučená:
1. L.A.Ljusternik, V.J.Sobolev: Elementy funkcionalnovo analiza,
2. J. Kačur: Vybrané kapitoly z matematickej fyziky I, skripta MFF UK, Bratislava 1984.
4. A.W.Naylor, G.R.Sell: Teória lineárnych operátorov v technických a prírodných vedách, Alfa, Bratislava 1971
5. A.Ženíšek: Funkcionální analýza II, skripta FSI VUT, PC-DIR, Brno 1999.
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
N-AIM-A prezenční studium --- bez specializace -- zá,zk 4 Povinný 2 2 Z
N-MAI-A prezenční studium --- bez specializace -- zá,zk 3 Povinný 2 2 Z
M2A-A prezenční studium M-MAI Matematické inženýrství -- zá,zk 3 Povinný 2 2 Z
N-MAI-A prezenční studium --- bez specializace -- zá,zk 3 Povinný 2 1 Z