Matematika II (FSI-2M)

Akademický rok 2021/2022
Garant: prof. RNDr. Miroslav Doupovec, CSc., dr. h. c.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Cíle předmětu:
Cílem předmětu je seznámit studenty se základy diferenciálního a integrálního počtu funkcí více proměnných tak, aby byli schopni studovat technické předměty a obory a řešit příslušné inženýrské problémy. Dalším úkolem předmětu je rozvíjet logické myšlení studentů.
Výstupy studia a kompetence:
Studenti získají základní znalosti z diferenciálního a integrálního počtu funkcí více proměnných. Budou schopni aplikovat tyto znalosti v technických problémech. Po absolvování předmětu budou studenti připraveni pro studium fyziky, mechaniky a dalších technických disciplín.
Prerekvizity:
Lineární algebra, diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné.
Obsah předmětu (anotace):
Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných včetně problémů hledání extrémů, výpočtu limit, derivací, diferenciálů, dvojných a trojných integrálů. Dále jsou probírány křivkové a plošné integrály ve skalárním i vektorovém poli. Součástí cvičení je práce s matematickým softwarem MAPLE.
Metody vyučování:
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.
Způsob a kritéria hodnocení:
POŽADAVKY NA UDĚLENÍ ZÁPOČTU: V rámci cvičení jsou zařazeny 2 kontrolní práce (každá maximálně za 12 bodů) a cvičení s počítačovou podporou. Celkem je v rámci cvičení možno získat maximálně 24 bodů. Podmínkou udělení zápočtu je získání alespoň 6 bodů z každé kontrolní práce. Studentům, kteří nesplní podmínky zápočtu, bude v průběhu prvních dvou týdnů zkouškového období umožněno napsat opravný test.

FORMA ZKOUŠEK:
Zkouška bude sestávat z písemné a ústní části, přičemž z písemky může student získat maximálně 75 bodů a z ústní části maximálně 25 bodů

PÍSEMNÁ ČÁST ZKOUŠKY (maximálně 75 bodů)
Písemná část trvá 120 minut, přičemž budou zadány 4 otázky specifikované níže:
1. otázka: Základní vlastnosti funkcí více proměnných: definiční obory, parciální derivace, gradient, směrové derivace apod. (max. 10 bodů)
2. otázka: Diferenciální počet funkcí více proměnných: Taylorův polynom, extrémy, funkce zadané implicitně (max. 22 bodů)
3. otázka: Dvojný a trojný integrál (max. 20 bodů)
4. otázka: Křivkový a plošný integrál (max. 23 bodů)
Součástí výše uvedených otázek může být i teoretická otázka.

ÚSTNÍ ČÁST ZKOUŠKY (maximálně 25 bodů):
• Diskuse k písemce: student musí u každého příkladu umět zdůvodnit svůj postup výpočtu – v opačném případě písemka nebude uznána a bude hodnocena za nula bodů.
• Případná teoretická otázka
• Případný jednoduchý příklad, který student okamžitě spočítá.
• V ústní části může zkoušející zohlednit výsledky zápočtových písemek


KLASIFIKAČNÍ HODNOCENÍ STUDENTA:
0-49 bodů: F
50-59 bodů: E
60-69 bodů: D
70-79 bodů: C
80-89 bodů: B
90-100 bodů: A
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
Účast na přednáškách je doporučená, účast na cvičeních je povinná a kontrolovaná. Výuka probíhá dle týdenních rozvrhů.
Způsob nahrazování zameškané výuky je plně v kompetenci učitele.
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  13 × 3 hod. nepovinná                  
    Cvičení  11 × 4 hod. povinná                  
    Cvičení s počítačovou podporou  2 × 4 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška 1.týden: Funkce více proměnných: základní pojmy, limita a spojitost, parciální derivace.
2.týden: Parciální derivace vyšších řádů, gradient, směrová derivace, diferenciál prvního řádu a vyšších řádů, tečná rovina ke grafu funkce dvou proměnných.
3.týden: Taylorův polynom, lokální extrémy funkcí více proměnných.
4.týden: Vázané extrémy, globální extrémy.
5.týden: Funkce zadané implicitně.
6.týden: Dvojný a trojný integrál, Fubiniova věta: výpočet na normálních množinách.
7.týden: Věta o substituci, cylindrické a sférické souřadnice.
8.týden: Aplikace dvojného a trojného integrálu.
9.týden: Křivky a jejich orientace, křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace.
10.týden: Křivkový integrál druhého druhu a jeho aplikace, Greenova věta.
11.týden: Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě, potenciál, operátory nabla a delta, divergence a rotace vektorového pole.
12.týden: Plochy (parametrické rovnice, pojem orientace plochy), plošný integrál prvního druhu a jeho aplikace.
13.týden: Plošný integrál druhého druhu a jeho aplikace, Gaussova-Ostrogradského a Stokesova věta.
    Cvičení První týden: výpočet nevlastních integrálů a aplikace Riemannova integrálu. Další týdny: cvičení k přednáškám z předchozího týdne.
    Cvičení s počítačovou podporou Počítačová podpora probíhá na bázi programu MAPLE v počítačové učebně. Povinná témata: Nakreslení grafu funkce více proměnných (zadané explicitně), nakreslení grafu funkce více proměnných (zadané parametricky nebo implicitně), extrémy funkcí více proměnných (grafické znázornění).
Literatura - základní:
1. Thomas G.B. - Finney R.L.: Calculus and Analytic Geometry, 7th edition
2. Sneall D.B. - Hosack J.M.: Calculus, An Integrated Approach
3. Rektorys K. a spol.: Přehled užité matematiky I,II (SNTL Praha, 1988)
4. Thomas G. B.: Calculus (Addison Wesley, 2003)
5. Satunino, L.S., Hille, E., Etgen, J.G.: Calculus: One and Several Variables, Wiley 2002
Literatura - doporučená:
1. Karásek J.: Matematika II (skriptum VUT)
2. Mezník I. - Karásek J. - Miklíček J.: Matematika I pro strojní fakulty (SNTL 1992)
3. Děmidovič B. P.: Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy
4. Eliáš J., Horváth J., Kajan J.: Zbierka úloh z vyššej matematiky I, II, III, IV (Alfa Bratislava, 1985)
5. Rektorys K. a spol.: Přehled užité matematiky I,II (SNTL, 1988)
6. Thomas G.B., Finney R.L.: Calculus and Analytic Geometry (7th edition)
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
B-PDS-P prezenční studium --- bez specializace -- zá,zk 8 Povinný 1 1 L
B-ZSI-P prezenční studium STI Základy strojního inženýrství -- zá,zk 8 Povinný 1 1 L
B-ZSI-P prezenční studium MTI Materiálové inženýrství -- zá,zk 8 Povinný 1 1 L
B-MET-P prezenční studium --- bez specializace -- zá,zk 8 Povinný 1 1 L