Moderní metody řešení diferenciálních rovnic (FSI-SDR)

Akademický rok 2023/2024
Garant: prof. RNDr. Jan Franců, CSc.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Cíle předmětu:
Cílem kurzu je podat posluchačům přehled moderních metod řešení okrajových úloh pro diferenciální rovnice založených na prostorech funkcí a funkcionální analýzy včetně konstrukce přibližných řešení.
Výstupy studia a kompetence:
Studenti získají orientaci v zobecněných formulacích (slabých a variačních) úloh pro parciální i obyčejné diferenciální rovnice a konstrukci přibližných řešení používaných pro numerické výpočty.
Získají také představu o stochastickém integrálu a stochastických diferenciálních rovnicích.
Prerekvizity:
Diferenciální a integrální počet funkcí jedné a více reálných proměnných,
obyčejné a parciální diferenciální rovnice, funkcionální analýza a prostory funkcí, teorie pravděpodobnosti.
Obsah předmětu (anotace):

Předmět podává přehled moderních metod řešení diferenciálních rovnic založených na funkcionální analýze. Zabývá se následujícími okruhy:

  • Přehled prostorů funkcí s integrovatelnými derivacemi.
  • Lineární eliptické rovnice: slabá a variační formulace okrajových úloh, existence a jednoznačnost řešení, přibližná řešení a jejich konvergence.
  • Specifika nelineárních úloh.
  • Slabá a variační formulace nelineárních stacionárních koercivních úloh, existence řešení. Aplikace na vybrané rovnice matematické fyziky.

Metody vyučování:
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.
Způsob a kritéria hodnocení:
Zápočet: aktivní účast ve výuce.
Zkouška - praktická část testuje schopnost vzájemně převádět slabou, variační a klasickou formulaci konkrétní nelineární okrajové úlohy a analyzovat její zobecněné řešení. Teoretická část obsahuje 4 otázky z přednesené látky.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
Pří nepřítomnosti si student musí doplnit zameškanou látku samostudiem.
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  13 × 2 hod. povinná                  
    Cvičení  13 × 2 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška 1. Motivace. Přehled vybraných prostředků funkcionální analýzy.
2. Lebesgueovy prostory, zobecněné funkce, popis hranice oblasti.
3. Sobolevovy prostory, různá zavedení, věty o vnoření a o stopách, duální prostory.
4. Slabá formulace lineárních eliptických rovnic.
5. Laxovo-Milgramovo lemma a existence a jednoznačnost řešení.
6. Variační formulace, konstrukce přibližných řešení.
7. Specifika nelineárních úloh, různé nelinearity. Němyckého operátory.
8. Slabá a variační formulace stacionárních nelineárních rovnic.
9. Monotónní operátory a jejich použití.
10. Aplikace metod na vybrané rovnice matematické fyziky.
11. Úvod do stochastických diferenciánlních rovnic. Brownův pohyb.
12. Itoův integrál a Itoova formule. Řešení stochastických diferenciálních rovnic.
13. Rezerva.
    Cvičení Ilustrace pojmů na příkladech a použití vět a teoretických výsledků z přednášek
v konkrétních situacích a na vybraných rovnicích matematické fyziky.
Literatura - základní:
1. S. Fučík, A. Kufner: Nonlinear Differential Equations, Nort Holland, 1980.
2. K. Rektorys: Variational Methods in Mathematics, Science and Engineering, Dordrecht, D. Reidel Publ. Comp., 1980.
3. J. Nečas: Direct Methods in the Theory of Elliptic Equations, Springer, Heidelberg 2012.
4. B. Oksendal: Stochastic Differential Equations, Springer, Berlin 2000.
Literatura - doporučená:
1. J. Franců: Moderní metody řešení diferenciálních rovnic, Akad. nakl. CERM, Brno 2006
2. K. Rektorys: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 1995.
3. S. Fučík, A. Kufner: Nelineární diferenciální rovnice, SNTL, Praha 1978.
4. S. Fučík, A. Kufner: Nonlinear Differential Equations, Nort Holland, 1980.
5. J. Nečas: Direct Methods in the Theory of Elliptic Equations, Springer, Heidelberg 2012.
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
N-MAI-P prezenční studium --- bez specializace -- zá,zk 5 Povinný 2 2 L
N-MAI-P prezenční studium --- bez specializace -- zá,zk 5 Povinný 2 1 L