Akademický rok 2023/2024 |
Garant: | prof. RNDr. Jan Franců, CSc. | |||
Garantující pracoviště: | ÚM | |||
Jazyk výuky: | čeština | |||
Cíle předmětu: | ||||
Cílem kurzu je podat posluchačům přehled moderních metod řešení okrajových úloh pro diferenciální rovnice založených na prostorech funkcí a funkcionální analýzy včetně konstrukce přibližných řešení. | ||||
Výstupy studia a kompetence: | ||||
Studenti získají orientaci v zobecněných formulacích (slabých a variačních) úloh pro parciální i obyčejné diferenciální rovnice a konstrukci přibližných řešení používaných pro numerické výpočty. Získají také představu o stochastickém integrálu a stochastických diferenciálních rovnicích. |
||||
Prerekvizity: | ||||
Diferenciální a integrální počet funkcí jedné a více reálných proměnných, obyčejné a parciální diferenciální rovnice, funkcionální analýza a prostory funkcí, teorie pravděpodobnosti. |
||||
Obsah předmětu (anotace): | ||||
Předmět podává přehled moderních metod řešení diferenciálních rovnic založených na funkcionální analýze. Zabývá se následujícími okruhy:
|
||||
Metody vyučování: | ||||
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách. | ||||
Způsob a kritéria hodnocení: | ||||
Zápočet: aktivní účast ve výuce. Zkouška - praktická část testuje schopnost vzájemně převádět slabou, variační a klasickou formulaci konkrétní nelineární okrajové úlohy a analyzovat její zobecněné řešení. Teoretická část obsahuje 4 otázky z přednesené látky. |
||||
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky: | ||||
Pří nepřítomnosti si student musí doplnit zameškanou látku samostudiem. | ||||
Typ (způsob) výuky: | ||||
Přednáška | 13 × 2 hod. | povinná | ||
Cvičení | 13 × 2 hod. | povinná | ||
Osnova: | ||||
Přednáška | 1. Motivace. Přehled vybraných prostředků funkcionální analýzy. 2. Lebesgueovy prostory, zobecněné funkce, popis hranice oblasti. 3. Sobolevovy prostory, různá zavedení, věty o vnoření a o stopách, duální prostory. 4. Slabá formulace lineárních eliptických rovnic. 5. Laxovo-Milgramovo lemma a existence a jednoznačnost řešení. 6. Variační formulace, konstrukce přibližných řešení. 7. Specifika nelineárních úloh, různé nelinearity. Němyckého operátory. 8. Slabá a variační formulace stacionárních nelineárních rovnic. 9. Monotónní operátory a jejich použití. 10. Aplikace metod na vybrané rovnice matematické fyziky. 11. Úvod do stochastických diferenciánlních rovnic. Brownův pohyb. 12. Itoův integrál a Itoova formule. Řešení stochastických diferenciálních rovnic. 13. Rezerva. |
|||
Cvičení | Ilustrace pojmů na příkladech a použití vět a teoretických výsledků z přednášek v konkrétních situacích a na vybraných rovnicích matematické fyziky. |
|||
Literatura - základní: | ||||
1. S. Fučík, A. Kufner: Nonlinear Differential Equations, Nort Holland, 1980. | ||||
2. K. Rektorys: Variational Methods in Mathematics, Science and Engineering, Dordrecht, D. Reidel Publ. Comp., 1980. | ||||
3. J. Nečas: Direct Methods in the Theory of Elliptic Equations, Springer, Heidelberg 2012. | ||||
4. B. Oksendal: Stochastic Differential Equations, Springer, Berlin 2000. | ||||
Literatura - doporučená: | ||||
1. J. Franců: Moderní metody řešení diferenciálních rovnic, Akad. nakl. CERM, Brno 2006 | ||||
2. K. Rektorys: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 1995. | ||||
3. S. Fučík, A. Kufner: Nelineární diferenciální rovnice, SNTL, Praha 1978. | ||||
4. S. Fučík, A. Kufner: Nonlinear Differential Equations, Nort Holland, 1980. | ||||
5. J. Nečas: Direct Methods in the Theory of Elliptic Equations, Springer, Heidelberg 2012. |
Zařazení předmětu ve studijních programech: | |||||||||
Program | Forma | Obor | Spec. | Typ ukončení | Kredity | Povinnost | St. | Roč. | Semestr |
N-MAI-P | prezenční studium | --- bez specializace | -- | zá,zk | 5 | Povinný | 2 | 2 | L |
N-MAI-P | prezenční studium | --- bez specializace | -- | zá,zk | 5 | Povinný | 2 | 1 | L |
Vysoké učení technické v Brně
Fakulta strojního inženýrství
Technická 2896/2,
616 69 Brno
IČ 00216305
DIČ CZ00216305
+420 541 141 111
+420 726 811 111 – GSM O2
+420 604 071 111 – GSM T-mobile