Numerické metody III (FSI-SN3-A)

Akademický rok 2023/2024
Garant: doc. Ing. Petr Tomášek, Ph.D.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: angličtina
Cíle předmětu:

Cílem předmětu je seznámit studenty s matematickými základy metody konečných prvků a pochopení algoritmizace a standardních programátorských technik používaných při její implementaci.
Výstupy studia a kompetence:

V předmětu Numerické metody III studenti získají základní znalosti o metodě konečných prvků a její matematické podstatě a použijí tyto znalosti v několika samostatných projektech.
Prerekvizity:

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných. Základy funkcionální analýzy, parciální diferenciální rovnice. Numerické metody, zejména interpolace, integrace a řešení soustav ODR. Programování v prostředí MATLAB.
Obsah předmětu (anotace):

V předmětu Numerické metody III je představena metoda konečných prvků jako nástroj k přibližnému řešení diferenciálních rovnic. V kurzu jsou probírány matematické základy metody konečných prvků i implementace vybraných algoritmů.

Velká pozornost je věnována matematické podstatě metody, zejména slabé formulaci diferenciálních rovnic, Galerkinově metodě a analýze diskretizačních chyb. Ukázány jsou různé typy konečných prvků.
Metody vyučování:

Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.
Způsob a kritéria hodnocení:

Podmínky pro udělení klasifikovaného zápočtu: aktivní účast ve cvičeních a zpracování zadaných projektů. Za výraznou aktivitu ve výuce lze hodnocení zvýšit.

Jestliže úspěšnost měříme v procentních bodech, pak je klasifikace provedena takto: 100--90: A (výborně), 89--80: B (velmi dobře), 79--70: C (dobře), 69--60: D (uspokojivě), 59--50: E (dostatečně), 49--0: F (nevyhovující).
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:

Účast na přednáškách je žádoucí, účast ve cvičeních je povinná. Zmeškaná výuka může být nahrazena po dohodě se cvičícím.
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  13 × 2 hod. nepovinná                  
    Cvičení s počítačovou podporou  13 × 1 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška První čtyři přednášky budou věnovány popisu algoritmu pro řešení modelové úlohy typu "stacionární vedení tepla" v rovinné polygonální oblasti pomocí lineárních trojúhelníkových konečných prvků. To umožní začít ve cvičeních od samého počátku experimentovat s programováním. Další přednášky se budou věnovat matematické teorii metody konečných prvků.
1. Klasická a variační formulace, triangulace, po částech lineární funkce.
2. Diskrétní variační formulace, elementární matice a vektory.
3. Elementární matice a vektory - pokračování.
4. Sestavení globální soustavy algebraických rovnic, její řešení, postprocessing.
5. Některé poznatky z funkcionální analýzy. Prostor W^k_2.
6. Stopy funkcí z prostoru W^k_2. Friedrichsova nerovnost a Poincareho nerovnost.
7. Bramble-Hilbertovo lemma. Sobolevova věta o vnoření.
8. Formální ekvivalence eliptického okrajového problému a příslušného
variačního problému. Existence a jednoznačnost řešení variačního problému.
9. Konečněprvkové prostory Lagrangeova typu. Definice přibližného řešení. Věta o existenci a jednoznačnosti přibližného řešení.
10. Transformace trojúhelníku na referenční trojúhelník. Vztahy mezi normami na obecném trojúhelníku a referenčním trojúhelníku.
11. Interpolační věta.
12. Numerická integrace.
13. Adaptivní techniky MKP.
    Cvičení s počítačovou podporou Cvičení probíhají u počítačů, používá se MATLAB a Visual Studio. Algoritmus pro eliptickou úlohu bude vyložen v prvních čtyřech přednáškách. Algoritmus řešení parabolické a hyperbolické úlohy a algoritmus pro výpočet vlastních čísel bude stručně vyložen ve cvičeních. Předpokládá se samostatná práce studentů při práci s učebním textem (obsahujícím detailní popis algoritmů) a při programování v MATLABu.
1-2. Programovací nástroje, úvod.
3-4. Příprava na programování eliptické úlohy (stacionární vedení tepla).
5-6. Vývoj programu eliptické úlohy, výklad algoritmu parabolické úlohy (nestacionární vedení tepla).
7-8. Vývoj programu parabolické úlohy, výklad algoritmu hyperbolické úlohy (kmitání membrány).
9-10. Vývoj programu pro hyperbolickou úlohu, výklad algoritmu pro výpočet vlatních čísel.
11-12. Vývoj programu pro výpočet vlastních čísel.
13. Rezerva cvičícího.
Literatura - základní:
1. A. Ern, J.-L. Guermond: Theory and Practice of Finite Elements, Springer Series in Applied Mathematical Sciences, Vol. 159 (2004) 530 p., Springer-Verlag, New York
2. S.C. Brenner, L.R. Scott: The Mathematical Theory of Finite Element Methods, Springer-Verlag, 2002.
3. P. Knabner, L. Angermann: Numerical Methods for Elliptic and Parabolic Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 2003.
4. C. Jonson: Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
Literatura - doporučená:
1. A. Ženíšek: Matematické základy metody konečných prvků, [on-line], available from: http://mathonline.fme.vutbr.cz/Numericke-metody-III/sc-1151-sr-1-a-142/default.aspx.
2. L. Čermák: Algoritmy metody konečných prvků, [on-line], available from: http://mathonline.fme.vutbr.cz/Numericke-metody-III/sc-1151-sr-1-a-142/default.aspx.
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
N-MAI-A prezenční studium --- bez specializace -- kl 4 Povinný 2 1 Z