Optimalizace I (FSI-SOP)

Předmět se zaměřuje na seznámení studentů se základními poznatky z oblasti optimalizace - matematického programování. Důraz je kladen na uvedení podstatných informací o modelech a metodách řešení optimalizačních problémů. Jedná se zejména o uvedení do analýzy rozhodovacích problémů, tvorby základních (lineárních  a nelineárních) matematických modelů, jejich formálních zápisů a rozborů jeho vlastností, vhodných transformací modelů z pohledu jejich řešitelnosti, volby a modifikací algoritmů. Teoretický výklad uvedených poznatků je podložen ilustrujícími náázornými geometrickými a číselnými příklady s cíllem vést studenty k hlubokému a aplikačně užitečnému pochopení přednášené látky.  

Předmět je určen pro studenty matematického inženýrství a je užitečný pro studenty aplikovaných věd a vybraných inženýrských oborů. Účastnící se studenti získají znalosti teoretických základů optimalizace (zejména lineárního a nelineárního programování), osvojí si obecné principy modelování a vybrané algoritmy řešení optimalizačních úloh a utvoří si základní představu o uplatnění optimalizačních modelů v typických aplikacích. 

Předpokládají se znalosti základních poznatků matematické analýzy a lineární algebry v rozsahu látky předmětů vyučovaných v matematickém inženýrství.

Předmět je zaměřen na základní optimalizační modely a metody pro řešení technických problémů. Výklad se opírá o základní zásady matematického programování prezentované v následujících krocích: 1) formulace a analýza problémů, 2) sestavování matematických modelu, 3) jejich klasifikace, případná transformace a posouzení jejich teoretických vlastností,  4) výběr a úpravy řešících algoritmů, 5) jejich softwarová implementace 6)  nalezení, analýza a interpretace optimálních řešení. Předmět zejména zahrnuje témata lineárního programování (konvexní a polyedrické množiny, simplexová metoda, dualita) a nelineárního programování (konvexní funkce, podmínky optimality, typické algoritmy). Součástí výkladu jsou rovněž úvodní informace o principech modifkací a zobecňování základních optimalizačních modelů (o celočíselných úlohách, modelování toků v sítích, času a náhodnosti, aj.). které se dále rozšiřují a prohlubují v navazujících předmětech. Náplň předmětu byla  autorem sestavena na základě jeho zkušeností s obdobnými kursy na zahraničních školách, kde působil.

Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny ilustrované na geometrických a výpočtových příkladech. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.

Zápočet je udělen na základě aktivní účasti studenta na výuce předmětu a  jeho významného podílu na zpracování skupinových domácích projjektů během semestru. Zkouška je založena na vypracování písemné práce zahrnujcí formulační, výpočtové a teoretické otázky. K písemné práci pak probíhá ústní rozprava se studentem.

Účast je kontrolována pomocí aktivní účasti studentů na řešených problémech, zameškaná výuka je nahrazována samostatným řešením zadaných úloh.

1. Úvodní modely (ÚM): formulace a analýza problému, návrh modelu, klasifikace modelů a jejich základní teoretické vlastnosti.

2. ÚM: vizualizace, algoritmy, software, postoptimalizace. Poznámky o speciálních a obecných ooptimalizačních modelech. 

3. Lineární programování (LP): Konvexní a polyedrické množiny.

4. LP: Množina přípustných řešení, krajní body, krajní směry, věta o reprezentaci, základní věta LP.

5. LP: Simplexová metoda - úvod, odvození, tabulkové výpočty.

6. LP: Simplexová metoda - rozšiřující témata. 

7. LP: Dualita, citlivost a parametrická analýza.

8. Nelineární programování (NLP): Konvexní funkce a jejich vlastnosti.

9. NLP: Volné extrémy - teoretické výsledky a aplikace. 

10. NLP: Vázané extrémy a podmínky optimality (geometrické, FJ, KKT). 

11. NLP: Volné extrémy  a související numerické metody jednorozměrné a vícerozměrné optimalizace.

12. NLP:  Vázané extrémy a související numerické metody. 

13. Vybraná doplňující témata. 

Uvodni ulohy (1-3)
Linearni ulohy (4-8)
Nelinearni ulohy (9-13)

Účast na cvičení je povinná.