Parciální diferenciální rovnice (FSI-SPD)

Akademický rok 2023/2024
Garant: prof. RNDr. Jan Franců, CSc.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Cíle předmětu:
Cílem kurzu je po doplnění znalostí z obyčejných diferenciálních rovnic, seznámit posluchače s parciálními diferenciálními rovnicemi, jejich základními vlastnostmi a jejich použitím v matematickém modelování, naučit formulovat počáteční a okrajové úlohy modelující vybrané konkrétní fyzikální situace. Dalším cílem je seznámit studenty s klasickými metodami řešení a naučit řešit jednoduché úlohy pro rovnice matematické fyziky.
Výstupy studia a kompetence:
Prohloubení znalostí z obyčejných diferenciálních rovnic. Základy teorie parciálních diferenciálních rovnic a přehled o možnostech jejich využití při matematickém modelování. Dovednost sestavit matematický model konkrétních vybraných fyzikálních situací a spočítat řešení, případně sestavit algoritmus pro výpočet řešení přibližného.
Prerekvizity:
Řešení algebraických rovnic a soustav lineárních rovnic, diferenciální a integrální počet funkce jedné a více proměnných, obyčejné diferenciální rovnice.
Obsah předmětu (anotace):

Obsah předmětu je následující: Obyčejné diferenciální rovnice - stručné opakování látky z 3. semestru a její doplnění (věty o existenci a jednoznačnosti řešení, stabilita řešení, okrajové úlohy).
Parciální diferenciální rovnice - základní pojmy. Rovnice prvního řádu. Cauchyova úloha pro rovnici k-tého řádu. Transformace, klasifikace a kanonický tvar rovnic druhého řádu.
Odvození vybraných rovnic matematické fyziky (vedení tepla v tyči a tělese, kmitání struny, vlnová rovnice v prostředí dimenze 1, 2, 3 a odvození z variačního principu) formulace počátečních a okrajových úloh.
Klasické metody: metoda charakteristik, Fourierova metoda řad, metoda integrální transformace, metoda Greenovy funkce. Principy maxima. Vlastnosti řešení eliptických, parabolických a hyperbolických rovnic.
Metody vyučování:
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.
Způsob a kritéria hodnocení:
Zápočet: aktivní účast ve cvičeních a úspěšné napsání dvou kontrolních prací:
Písemka 1: příklady z ODR: (a) řešení rovnice 1. řádu, (b) řešení lineární rovnice 2. řádu (c) řešení soustavy 2 rovnic 1. řádu - stabilita, klasifikace trajektorií.
Písemka 2: příklady z PDR: (a) řešení kvazilineární rovnice 1. řádu, (b) klasifikace a převod na kanonický tvar rovnice 2. řádu. (c) Formulace počáteční okrajové úlohy z fyzikálního zadání, převod na homogenní úlohu a její řešení Fourierovou metodou řad).
Zkouška se skládá z praktické a teoretické části. Praktická část: příklady z PDR - viz písemka 2. Teoretická část: 1 otázka z látky ODR a 3 otázky z látky PDR.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
V případě absence student si musí doplnit zameškanou látku samostudiem ze skript. Nutné úspěšné absolvování písemných prací; v případě špatného výsledku nebo absence v náhradním termínu.
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  13 × 2 hod. povinná                  
    Cvičení  13 × 2 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška

 1. Opakování látky z ODR - rovnice 1.řádu, lineární ODR vyšších řádů.
 2. Soustavy lineárních ODR, existence a jednoznačnost řešení.
 3. Kontrolní práce z ODR. Základní pojmy z PDR.                                   4. rovnice 1. řádu.
 5. Cauchyova úloha, klasifikace rovnic 2. řádu.
 6. Rovnice matematické fyziky: odvození rovnice vedení tepla.
 7. Odvození rovnice kmitání struny a vlnové rovnice.
 8. Odvození rovnice průhybu membrany z variačního principu.
 9. Metoda charakteristik pro vlnovou rovnici.
10. Fourierova metoda řad.
11. Metoda integrální transformace. Kontrolní práce z PDR.
12. Metoda Greenovy funkce a principy maxima.
13. Vlastnosti řešení, rezerva.
    Cvičení 1. ODR, řešení rovnic 1. řádu a lineárních rovnic vyšších řádů.
2. Řešení lineárních soustav ODR, vyšetřování stability řešení.
3. Fázový portrét řešení a klasifikace singulárních trajektorií.
4. PDR, řešení rovnic 1. řádu.
5. Písemná práce 1, klasifikace rovnic 2. řádu.
6. Formulace konkrétních úloh pro rovnici vedení tepla.
7. Formulace počáteční okrajové úlohy pro vlnové rovnice.
8. Odvození rovnice průhybu membrány z variačního principu.
9. Výpočet řešení metodou charakteristik.
10. Výpočet řešení Fourierovou metoda řad.
11. Písemná práce 2.
12. Užití metody Greenovy funkce, harmonické funkce.
13. Vlastnosti řešení, zápočet.
Literatura - základní:
2. V. J. Arsenin: Matematická fyzika, Alfa, Bratislava 1977
3. G. F. Carrier, C.E. Pearson: Partial differential equations,
3. L. C. Evans: Partial Differential Equations, AMS, Providence 1998
4. W. E. Williams: Partial differential equations,
Literatura - doporučená:
1. J. Franců: Parciální diferenciální rovnice, skripta FSI VUT, CERM 2011
3. V. J. Arsenin: Matematická fyzika, Alfa, Bratislava 1977.
4. K. Rektorys: Přehled užité matematiky II., Prometheus 1995
5. J. Škrášek, Z. Tichý: Základy aplikované matematiky II, SNTL, Praha 1986
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
B-MAI-P prezenční studium --- bez specializace -- zá,zk 5 Povinný 1 3 Z