Mathematical Analysis (FSI-UMA-A)

Cílem předmětu je seznámit studenty se základními pojmy a metodami řešení soustav obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu a jejich speciálních případů, se základy teorie stability řešení autonomních soustav a s dalšími vybranými tématy z teorie obyčejných diferenciálních rovnic. Cílem předmětu je také ukázat, že poznatky z teorie obyčejných diferenciálních rovnic se velmi často uplatňují ve fyzice, technické mechanice i jiných oborech.

Po absolvování předmětu studenti zvládnou analyticky řešit obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů a soustavy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu. Budou schopni posoudit otázku stability ekvilibrií (singulárních bodů) nelineárních autonomních soustav. Na vybraných úlohách z fyziky, mechaniky i jiných disciplín se seznámí s možnostmi matematického modelování pomocí obyčejných diferenciálních rovnic a s analýzou získaných rovnic.

Lineární algebra, diferenciální počet funkcí jedné a více proměnných, integrální počet funkcí jedné proměnné, obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu.

Předmět má seznámit studenty se základy teorie diferenciálních rovnic a dynamických systémů. Tyto poznatky tvoří teoretický základ potřebný pro matematické modelování ve fyzice, mechanice a jiných technických oborech.

Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení jsou zaměřena na praktické zvládnutí látky probírané na přednáškách.

Účast na přednáškách i ve cvičeních je povinná, účast ve cvičeních je kontrolovaná. Stanovení způsobů náhrady zmeškané výuky je v kompetenci vyučujícího.

Podmínky udělení zápočtu: Semestrální práce obsahující řešení zadaných úloh. Aktivní účast na přednáškách a ve cvičeních.

Zkouška: Zkouška prověřuje užití definic a vět na vybraných úlohách a praktickou dovednost při řešení příkladů. Zkouška se skládá z písemné a ústní části.  V písemné části je povolen vlastnoručně psaný "tahák" (v strany A4) se vzorci a kritérii dle vlastního úvážení (bez konkrétních příkladů). Je také povolena (jednoduchá) kalkulačka, telefon a počítač však povolen není. Seznam témat pro ústní část zkoušky bude oznámen na konci semestru.

Do klasifikačního hodnocení se zahrnuje výsledek písemného testu (max. 70 bodů), hodnocení diskuze nad testem (max. 10 bodů) a hodnocení ústní části zkoušky (max. 20 bodů).

Klasifikační hodnocení studenta: výborně (90-100 bodů), velmi dobře (80-89 bodů), dobře (70-79 bodů), uspokojivě (60-69 bodů), dostatečně (50-59 bodů), nevyhovující (0-49 bodů).

Účast na přednáškách je doporučená, účast na cvičeních je povinná a kontrolovaná. Stanovení způsobů náhrady zmeškané výuky je v kompetenci vyučujícího.

Obyčejné diferenciální rovnice (ODR) vyšších řádů. Základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy. Obecné řešení homogenních a nehomogenních lineárních rovnic.

Metody řešení homogenních lineárních ODR vyšších řádů s konstantními koeficienty.

Řešení nehomogenních lineárních ODR vyšších řádů - metoda variace konstant a metoda neurčitých koeficientů.

Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu. Základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy. Obecné řešení homogenních a nehomogenních lineárních soustav.

Metody řešení homogenních lineárních soustav ODR s konstantními koeficienty.

Řešení nehomogenních lineárních soustav ODR - metoda variace konstant a metoda neurčitých koeficientů.

Stabilita řešení obyčejných diferenciálních rovnic a jejich soustav. Základní pojmy. Stabilita lineárních soustav ODR s konstantními koeficienty.

Autonomní soustavy ODR prvního řádu. Trajektorie a fázový portrét. Ekvilibrium a jeho stabilita. Linearizace.

Dvoudimenzionální lineární soustavy ODR s konstantní regulární maticí. Klasifikace ekvilibrií.

Dvoudimenzionální autonomní nelineární soustavy ODR. Topologická ekvivalence.

Hamiltonovské systémy a autonomní nelineární rovnice druhého řádu.

Matematické modelování v mechanice a biologii. 

Analytické metody řešení ODR vyšších řádů.

Analytické metody řešení soustav ODR prvního řádu.

Stabilita lineárních soustav ODR s konstantními koeficienty.

Autonomní soustavy ODR prvního řádu.

Dvoudimenzionální lineární soustavy ODR s konstantní regulární maticí - stabilita a klasifikace ekvilibrií.

Dvoudimenzionální autonomní nelineární soustavy ODR - stabilita a klasifikace ekvilibrií.

Autonomní nelineární rovnice druhého řádu - stabilita a klasifikace ekvilibrií.

Matematické modelování v mechanice a biologii.