Lineární algebra II (FSI-SLB)

Cílem předmětu je seznámit studenty s analytickou geometrií a pokročilými partiemi lineární algebry, konkrétně tenzory, projektivní geometrií a geometrickými algebrami. Součástí předmětu bude
návaznost na řešení inženýrských problémů.

Studenti získají základní znalosti analytické geometrie vybudované moderními metodami geometrických algeber. Dále získají přehled o pokročilých partiích lineární algebry jako jsou tenzory a duální prostory. Budou schopni aplikovat metody lineární algebry v analytické geometrii a v technických problémech.

Požaduje se úspěšné absolvování předmětu Lineární algebra I (SLA)

 Studenti získají základní znalosti analytické geometrie vybudované moderními metodami geometrických algeber. Dále získají přehled o pokročilých partiích lineární algebry jako jsou tenzory a duální prostory. Budou schopni aplikovat metody lineární algebry v analytické geometrii a v technických problémech.

Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.

Požadavky na udělení zápočtu:

1. Aktivní účast ve cvičeních
2. Vnitrosemestrální písemka z analytické geometrie
3. Závěrečná semestrální práce formou implementace zvoleného úkolu analytické geometrie prostředky projektivní geometrické algebry ve zvoleném software (Matlab, Python, C++, C#)

Forma zkoušek:

Zkouška má písemnou a ústní část. Písemná část trvá 120 minut, přičemž bude zadáno 4 otázky kopírujících přednášená témata, Základem ústní zkoušky je diskuze nad vypracovanými příklady a s nimi související teorií. Zkoušející je povinen předem sdělit posluchačům (nejpozději na poslední přednášce) základní informace o průběhu zkoušky a také hlavní zásady týkající se klasifikace.  Pravidla klasifikace: Každá otázka 20 bodů.

Učast na přednáškách je doporučená, účast na cvičeních je  kontrolovaná. Výuka probíhá podle týdenních rozvrhů. Způsob nahrazování zameškané výuky je v kompetenci učitele.

Multilineární algebra (1-4) Analytická geometrie (5-9) Geometrické algebry (10-13)

1. Duální vektorové prostory, duální báze, duální zobrazení.


2. Multilineární algebra, symetrické a antisymetrické tensory, 


3. Levá a pravá kontrakce, Hodgeho izomorfismus, 


4. Algebra vnějších forem, Grassmanova algebra


5. Afinní geometrie maticově 


6. Analytická geometrie: Klasifikace lineárních objektů, vzájemná poloha


7. Analytická geometrie: Konstrukční úlohy


8. Analytická geometrie: Transformace


9. Projektivní geometrie maticově


10. Projektivní geometrická algebra: Základní pojmy, algebra G3, kvaterniony


11. Projektivní geometrická algebra: Objekty a transformace


12. Projektivní geometrická algebra: Analytický geometrie v PGA


13. Konformní geometrická algebra

1. týden: Opakovaní základních pojmů lineární algebry, báze, dimenze, matice přechodu, matice transformace.

Další týdny: Cvičení k přednášce z předcházejícího týdne.

Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant a kolektiv Matematika drsně a svižně, 1. vyd. — Brno: Masarykova univerzita, 2013 -773 s.

Pavol Zlatoš. Lineárna algebra a geometria. Bratislava: Albert Marenčin, PT, s.r.o., 2011. 741 s. ISBN 978-80-8114-111-9.

Luboš Motl, Miloš Zahradník, Pěstujeme lineární algebru, Praha: Univerzita Karlova v Praze, nakladatelství Karolinum, 2002. 348 s.

Kenichi Kanatani, Understanding Geometric Algebra: Hamilton Grassmann and Clifford for Computer Vision and Graphics. CRC Press 2015.

Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant a kolektiv Matematika drsně a svižně, 1. vyd. — Brno: Masarykova univerzita, 2013 -773 s

Kenichi Kanatani, Understanding Geometric Algebra: Hamilton Grassmann and Clifford for Computer Vision and Graphics. CRC Press 2015.