Lineární algebra II (FSI-SLB)

Akademický rok 2023/2024
Garant: doc. Mgr. Jaroslav Hrdina, Ph.D.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Cíle předmětu:

Cílem předmětu je seznámit studenty s analytickou geometrií a pokročilými partiemi lineární algebry, konkrétně tenzory, projektivní geometrií a geometrickými algebrami. Součástí předmětu bude
návaznost na řešení inženýrských problémů.

Výstupy studia a kompetence:

Studenti získají základní znalosti analytické geometrie vybudované moderními metodami geometrických algeber. Dále získají přehled o pokročilých partiích lineární algebry jako jsou tenzory a duální prostory. Budou schopni aplikovat metody lineární algebry v analytické geometrii a v technických problémech.

Prerekvizity:

Požaduje se úspěšné absolvování předmětu Lineární algebra I (SLA)

Obsah předmětu (anotace):

 Studenti získají základní znalosti analytické geometrie vybudované moderními metodami geometrických algeber. Dále získají přehled o pokročilých partiích lineární algebry jako jsou tenzory a duální prostory. Budou schopni aplikovat metody lineární algebry v analytické geometrii a v technických problémech.

Metody vyučování:

Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.

Způsob a kritéria hodnocení:

Požadavky na udělení zápočtu:

  1. Aktivní účast ve cvičeních
  2. Vnitrosemestrální písemka z analytické geometrie
  3. Závěrečná semestrální práce formou implementace zvoleného úkolu analytické geometrie prostředky projektivní geometrické algebry ve zvoleném software (Matlab, Python, C++, C#)

 

Forma zkoušek:

Zkouška má písemnou a ústní část. Písemná část trvá 120 minut, přičemž bude zadáno 4 otázky kopírujících přednášená témata, Základem ústní zkoušky je diskuze nad vypracovanými příklady a s nimi související teorií. Zkoušející je povinen předem sdělit posluchačům (nejpozději na poslední přednášce) základní informace o průběhu zkoušky a také hlavní zásady týkající se klasifikace.  Pravidla klasifikace: Každá otázka 20 bodů.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:

Učast na přednáškách je doporučená, účast na cvičeních je  kontrolovaná. Výuka probíhá podle týdenních rozvrhů. Způsob nahrazování zameškané výuky je v kompetenci učitele.

Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  13 × 2 hod. nepovinná                  
    Cvičení  13 × 1 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška

Multilineární algebra (1-4) Analytická geometrie (5-9) Geometrické algebry (10-13)



  1. Duální vektorové prostory, duální báze, duální zobrazení.

  2. Multilineární algebra, symetrické a antisymetrické tensory, 

  3. Levá a pravá kontrakce, Hodgeho izomorfismus, 

  4. Algebra vnějších forem, Grassmanova algebra

  5. Afinní geometrie maticově 

  6. Analytická geometrie: Klasifikace lineárních objektů, vzájemná poloha

  7. Analytická geometrie: Konstrukční úlohy

  8. Analytická geometrie: Transformace

  9. Projektivní geometrie maticově

  10. Projektivní geometrická algebra: Základní pojmy, algebra G3, kvaterniony

  11. Projektivní geometrická algebra: Objekty a transformace

  12. Projektivní geometrická algebra: Analytický geometrie v PGA

  13. Konformní geometrická algebra

    Cvičení

1. týden: Opakovaní základních pojmů lineární algebry, báze, dimenze, matice přechodu, matice transformace.


Další týdny: Cvičení k přednášce z předcházejícího týdne.

Literatura - základní:
1.

Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant a kolektiv Matematika drsně a svižně, 1. vyd. — Brno: Masarykova univerzita, 2013 -773 s.

2.

Pavol Zlatoš. Lineárna algebra a geometria. Bratislava: Albert Marenčin, PT, s.r.o., 2011. 741 s. ISBN 978-80-8114-111-9.

3.

Luboš Motl, Miloš Zahradník, Pěstujeme lineární algebru, Praha: Univerzita Karlova v Praze, nakladatelství Karolinum, 2002. 348 s.

4.

Kenichi Kanatani, Understanding Geometric Algebra: Hamilton Grassmann and Clifford for Computer Vision and Graphics. CRC Press 2015.

Literatura - doporučená:
1.

Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant a kolektiv Matematika drsně a svižně, 1. vyd. — Brno: Masarykova univerzita, 2013 -773 s

2.

Kenichi Kanatani, Understanding Geometric Algebra: Hamilton Grassmann and Clifford for Computer Vision and Graphics. CRC Press 2015.

9. Horák, P., Janyška, J.: Analytická geometrie, Masarykova univerzita 1997.
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
B-MAI-P prezenční studium --- bez specializace -- zá,zk 4 Povinný 1 2 L