Parciální diferenciální rovnice (FSI-SPD)

Akademický rok 2024/2025
Garant: doc. Mgr. Zdeněk Opluštil, Ph.D.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Cíle předmětu:

Cílem kurzu je  seznámit posluchače s parciálními diferenciálními rovnicemi, jejich základními vlastnostmi a jejich použitím v matematickém modelování, naučit formulovat počáteční a okrajové úlohy modelující vybrané konkrétní fyzikální situace. Dalším cílem je seznámit studenty s klasickými metodami řešení a naučit řešit jednoduché úlohy pro rovnice matematické fyziky.
Prohloubení znalostí z obyčejných diferenciálních rovnic. Základy teorie parciálních diferenciálních rovnic a přehled o možnostech jejich využití při matematickém modelování. Dovednost sestavit matematický model konkrétních vybraných fyzikálních situací a spočítat řešení, případně sestavit algoritmus pro výpočet řešení přibližného.
Výstupy studia a kompetence:
 
Prerekvizity:
 
Obsah předmětu (anotace):

Obsah předmětu je následující: 
Parciální diferenciální rovnice - základní pojmy. Rovnice prvního řádu. Cauchyova úloha pro rovnici k-tého řádu. Transformace, klasifikace a kanonický tvar rovnic druhého řádu.
Odvození vybraných rovnic matematické fyziky (vedení tepla v tyči a tělese, kmitání struny, vlnová rovnice v prostředí dimenze 1, 2, 3 a odvození z variačního principu) formulace počátečních a okrajových úloh.
Klasické metody: metoda charakteristik, Fourierova metoda řad, metoda integrální transformace, metoda Greenovy funkce. Principy maxima. Vlastnosti řešení eliptických, parabolických a hyperbolických rovnic.
Metody vyučování:
 
Způsob a kritéria hodnocení:

K získání zápočtu je nutné úspěšné napsání dvou kontrolních prací. Zkouška se skládá z písemné a ústní části. 
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
 
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  13 × 2 hod. povinná                  
    Cvičení  13 × 2 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška  
    Cvičení 1. ODR, řešení rovnic 1. řádu a lineárních rovnic vyšších řádů.
2. Řešení lineárních soustav ODR, vyšetřování stability řešení.
3. Fázový portrét řešení a klasifikace singulárních trajektorií.
4. PDR, řešení rovnic 1. řádu.
5. Písemná práce 1, klasifikace rovnic 2. řádu.
6. Formulace konkrétních úloh pro rovnici vedení tepla.
7. Formulace počáteční okrajové úlohy pro vlnové rovnice.
8. Odvození rovnice průhybu membrány z variačního principu.
9. Výpočet řešení metodou charakteristik.
10. Výpočet řešení Fourierovou metoda řad.
11. Písemná práce 2.
12. Užití metody Greenovy funkce, harmonické funkce.
13. Vlastnosti řešení, zápočet.
Literatura - základní:
1. V. J. Arsenin: Matematická fyzika, Alfa, Bratislava 1977
2. L. C. Evans: Partial Differential Equations, AMS, Providence 1998
3. W. E. Williams: Partial differential equations,
Literatura - doporučená:
1. J. Franců: Parciální diferenciální rovnice, skripta FSI VUT, CERM 2011
2. J. Franců: Obyčejné diferenciální rovnice a Příklady z ODR, http://www.mat.fme.vutbr.cz/home/francu
3. V. J. Arsenin: Matematická fyzika, Alfa, Bratislava 1977.
4. K. Rektorys: Přehled užité matematiky II., Prometheus 1995
5. J. Škrášek, Z. Tichý: Základy aplikované matematiky II, SNTL, Praha 1986
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
B-MAI-P prezenční studium --- bez specializace -- zá,zk 5 Povinný 1 3 Z