Matematika 2 (FSI-Z2M)

Absolventi budou schopni stanovit parametry potřebné v matematických modelech některých reálných problémů, zvládnou analyticky řešit některé obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy.

• Znalost základů vybraných matematických teorií, které jsou využívány při matematickém modelování ve fyzice, mechanice a jiných technických oborech.
• Schopnost logicky a systematicky uvažovat, postupovat od jednoduššího ke složitějšímu a přesně se vyjadřovat a argumentovat.
• Schopnost použít základní matematický aparát k řešení některých dílčích úloh objevujících se v matematických modelech reálných problémů.

Znalosti z lineární algebry, diferenciálního a integrálního počtu jedné proměnné.

Předmět seznamuje studenty se základními pojmy a metodami  diferenciálního a integrálního počtu funkcí více proměnných a základy teorie obyčejných diferenciálních rovnic a jejich soustav. Zvláštní pozornost je věnována použití probraného matematického aparátu při řešení úloh v matematických modelech reálných problémů. Předmět je základem pro úspěšné absolvování odborných předmětů (konstruování, technické mechaniky atd.). 

Podmínky získání zápočtu (0-100 bodů, minimum pro získání zápočtu je 50):

• odevzdání všech zadaných domácích úloh,
• zápočtový test (min. 50 z 100 bodů); studentům, kteří nezískají 50 bodů ze zápočtového testu, bude v průběhu prvního týdne zkouškového období umožněno napsat opravný test.

Podmínky získání zkoušky (0-100 bodů, minimum pro absolvování zkoušky je 50):

• písemná část zkoušky (max. 80 bodů),
• rozprava nad písemnou částí zkoušky a ústní část zkoušky (max. 20 bodů),
• celkem je možno získat až 100 bodů, výsledná klasifikace se určí podle stupnice ECTS.

Přednáška: Účast je povinná a kontrolovaná vyučujícím, povoluje se jedna neomluvená absence. Stanovení způsobů náhrady další zmeškané výuky je v kompetenci vyučujícího.

Cvičení: Účast je povinná a kontrolovaná vyučujícím, povoluje se jedna neomluvená absence. Stanovení způsobů náhrady další zmeškané výuky je v kompetenci vyučujícího.

• Funkce více reálných proměnných (základní pojmy, graf, vrstevnice, vektorová funkce, vektorové pole).


• Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných (parciální derivace, derivace podle vektoru, gradient, spojitost, diferenciál, tečná rovina, lineární a kvadratická aproximace, potenciálové vektorové pole, potenciál, diferenciální operátory).


• Dvojný a trojný integrál (míra v rovině a prostoru, dvojný integrál, Fubiniho věta, transformace do polárních souřadnic, trojný integrál, aplikace).


• Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu (základní pojmy, směrové pole, počáteční úloha, analytické metody řešení vybraných typů nelineárních rovnic).


• Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů (základní pojmy, lineární diferenciální rovnice, analytické metody řešení nehomogenních lineárních rovnic s konstantními koeficienty, počáteční úloha, okrajová úloha).


• Soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu (analytické metody řešení homogenních lineárních soustav s konstantními koeficienty, převod diferenciálních rovnic vyšších řádu na soustavu diferenciálních rovnic 1. řádu).


• Trigonometrické Fourierovy řady (trigonometrický systém, Fourierova řada a její součet, rozvoj do sinové a kosinové Fourierovy řady).

• Základní vlastnosti funkcí více reálných proměnných, vektorové pole, příklady užití v geometrii a při výpočtu křivkového integrálu.


• Výpočet parciálních derivací, lineární a kvadratická aproximace, potenciálové vektorové pole, výpočet potenciálu, lokální extrémy, příklady užití ve fyzice.


• Výpočet dvojného a trojného integrálu, transformace integrálů, příklady použití v geometrii a fyzice.


• Řešení vybraných typů obyčejných diferenciálních rovnic 1. řádu, příklady použití v geometrii a fyzice.


• Analytické metody řešení nehomogenních lineárních diferenciálních rovnic vyšších řádů s konstantními koeficienty, příklady použití v dynamice a pružnosti a pevnosti.


• Analytické metody řešení homogenních lineárních soustav s konstantními koeficienty, převod diferenciálních rovnic vyšších řádů na soustavu diferenciálních rovnic 1. řádu, ilustrace řešení ve fázovém prostoru.


• Rozvoj funkce do trigonometrické Fourierovy řady a určení jejího součtu.