Pokročilé metody matematické analýzy (FSI-SDR-A)

Cílem kurzu je podat posluchačům přehled moderních a pokročilých metod (založených převážně na poznatcích z funkcionální analýzy) vhodných zejména pro kvalitativní analýzu lineárních i nelineárních úloh pro diferenciální rovnice. Studenti též získají orientaci ve zobecněných formulacích (slabých a variačních) úloh.

Diferenciální počet, integrální počet, lineární algebra, obyčejné a parciální diferenciální rovnice, funkcionální analýza.

Předmět je věnován dvěma základním okruhům, které se částečně prolínají. Jednak jde o úvod do tzv. moderní teorie (parciálních) diferenciálních rovnic a s tím spojených pojmů jako jsou zobecněné funkce, Sobolevovy prostory, věty o vnoření, slabá a variační formulace úloh. Další část je věnována vybraným metodám nelineární analýzy. Jde zejména o topologické metody, monotónní metody a variační metody. Diskutují se též aplikace těchto metod na různé typy úloh. Zmiňují se i elementy diferenciálního počtu v normovaných lineárních prostorech. 

Zápočet: aktivní účast ve cvičeních (účast je povinná), úspěšné napsání testu.

Zkouška: Zkouška má ústní formu. Diskutována je teorie i příklady. Vyžaduje se orientace v probraných základních pojmech a principech a ilustrace teorie v konkrétních situacích.

Motivace.
Připomenutí vybraných základních pojmů funkcionální analýzy a teorie diferenciálních rovnic.
Zobecněné funkce a zobecněné derivace.
Sobolevovy prostory.
Věty o vnoření.
Stopy funkcí.
Slabá a variační formulace lineárních úloh.
Laxovo-Milgramovo lemma.
Diferenciální počet v normovaných lineárních prostorech.
Topologické metody (Brouwerova věta, Schauderova věta).
Aplikace vět o pevném bodu.
Teorie monotónních operátorů.
Aplikace monotónních metod.
Variační metody.
Aplikace variačních metod.

Ilustrace pojmů z přednášek na příkladech. Aplikace teoretických výsledků
v konkrétních situacích a na vybraných rovnicích.

K. Deimling, Nonlinear functional analysis, Springer 1985.

P. Drábek, J. Milota, Methods of nonlinear analysis, Birkhauser 2013.

L. C. Evans, Partial differential equations, American Mathematical Society 2010.

J. Franců, Moderní metody řešení parciálních diferenciálních rovnic, FSI VUT Brno 2019.

P. Řehák, Advanced methods in mathematical analysis, FME BUT Brno 2025.