Funkcionální analýza I (FSI-SU1)

Akademický rok 2026/2027
Garant: prof. Mgr. Pavel Řehák, Ph.D.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Typ předmětu: oborový předmět
Cíle předmětu:
 
Výstupy studia a kompetence:
 
Prerekvizity:
 
Obsah předmětu (anotace):

V předmětu se diskutují základní pojmy a principy funkcionální analýzy týkající se především metrických prostorů, lineárních normovaných prostorů (speciálně Banachových), unitárních prostorů (speciálně Hilbertových) a teorie lineárních funkcionálů. Zmíněny jsou i elementy Lebesgueova integrálu. Dále je ukázáno využití těchto pojmů při řešení některých úloh matematické analýzy a numerické matematiky.
Metody vyučování:
 
Způsob a kritéria hodnocení:
 
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
 
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  13 × 2 hod. nepovinná                  
    Cvičení  13 × 2 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška Metrické prostory
Základní pojmy a fakta. Uzavřené a otevřené množiny. Konvergence. Separabilní metrické prostory.
Úplné metrické prostory.
Zobrazení metrických prostorů. Banachova věta o pevném bodu. Aplikace.
Kompaktní prostory. Prekompaktnost a relativní kompaktnost. Arzeláova-Ascoliho věta.
Příklady.

Elementy teorie míry a integrálu
Motivace. Lebesgueova míra. Měřitelné funkce. Lebesgueův integrál.
Základní vlastnosti. Věty o limitních přechodech.
Lebesgueovy prostory.
Příklady.

Normované lineární prostory
Základní pojmy a fakta. Banachovy prostory.
Izometrie. Homeomorfismus.
Vliv dimenze prostoru.
Nekonečné řady v Banachových prostorech.
Schauderova věta a aplikace.
Příklady.

Unitární prostory
Základní pojmy a fakta. Hilbertovy prostory.
Izometrie. Ortogonalita. Ortogonální projekce,
Obecné Fourierovy řady. Rieszova-Fischerova věta.
Separabilní Hilbertovy prostory.
Příklady.

Lineární funkcionály, duální prostory
Pojem lineárního funkcionálu. Lineární funkcionály v normovaném prostoru.
Spojité a ohraničené funkcionály.
Hahnova-Banachova věta a její důsledky.
Duální prostor. Reflexivita.
Banachova-Steinhausova věta a její důsledky.
Slabá konvergence.
Příklady.

Speciální typy prostorů (v rámci probírané teorie), zejména prostory posloupností, prostory spojitých funkcí, prostory integrovatelných funkcí. Některé nerovnosti.
    Cvičení Procvičování látky z přednášek zejména na konkrétních příkladech prostorů konečné dimenze, prostorů posloupností a prostorů spojitých a integrovatelných funkcí.
Literatura - základní:
1. F. Burk, Lebesgue measure and integration: An introduction, Wiley 1998.
2. C. Costara, D. Popa, Exercises in functional analysis, Kluwer 2003.
3. Z. Došlá, O. Došlý, Metrické prostory: teorie a příklady, PřF MU Brno 2006.
4. D. Farenick, Fundamentals of functional analysis, Springer 2016.
5. J. Franců, Funkcionální analýza 1, FSI VUT 2014.
6. D. H. Griffel, Applied functional analysis, Dover 2002.
7. A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, SNTL, Praha 1975.
9. J. Lukeš, Zápisky z funkcionální analýzy, Karolinum 1998.
10. I. Netuka, Základy moderní analýzy, MatfyzPress 2014.
11.

G. Teschl, Topics in real and functional analysis, Lecture notes 2016.
14. A. Torchinsky, Problems in real and functional analysis, American Mathematical Society 2015.
15. E. Zeidler, Applied functional analysis: Main principles and their applications, Springer, 1995.
Literatura - doporučená:
1. A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, SNTL, Praha 1975.
2. I. Netuka, Základy moderní analýzy, MatfyzPress 2014.
3. J. Franců, Funkcionální analýza 1, FSI VUT 2014.
4. D. Farenick, Fundamentals of functional analysis, Springer 2016.
5. D. H. Griffel, Applied functional analysis, Dover 2002.
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
B-MAI-P prezenční studium --- bez specializace -- zá,zk 5 Povinný 1 3 Z
C-AKR-P prezenční studium CZS Předměty zimního semestru -- zá,zk 5 Volitelný 1 1 Z