Numerické metody (FSI-2NU)

Cílem předmětu Numerické metody je seznámit studenty se základními postupy řešení vybraných numerických problémů a vybavit je schopností samostatně tyto problémy řešit jak "ručně" tak pomocí pomocí počítače. Studenti by měli pochopit, že teprve znalost podstatných vlastností jednotlivých numerických metod jim umožní efektivní volbu vhodné metody a odpovídajícího softwarového produktu.
Předmět Numerické metody I seznámí studenty se základní kolekcí úloh numerické matematiky. Poukáže na záludnosti numerických výpočtů (chyby, stabilita), uvede studenty do problematiky řešení lineárních a nelineárních rovnic, seznámí je s interpolací, s metodou nejmenších čtverců, s numerickým derivováním a integrováním a s nepodmíněnou minimalizací. Jednoduché úlohy zvládne student spočítat "ručně", složitější na počítači.

Numerické metody lineární algebry, aproximace funkcí, numerické derivování a integrování, diferenciální a integrální počet, základy programování.

Předmět Numerické metody seznámí studenty se základní kolekcí úloh numerické matematiky. Poukáže na záludnosti numerických výpočtů (chyby, stabilita), uvede studenty do problematiky řešení lineárních a nelineárních rovnic, seznámí je s interpolací, s metodou nejmenších čtverců, s numerickým derivováním a integrováním a s nepodmíněnou minimalizací.

PODMÍNKY PRO UDĚLENÍ ZÁPOČTU: Účast ve cvičeních, úpěšné absolvování dvou kontrolních písemných prací. Za obě písemné práce lze obdržet 0 až 20 bodů. Podmínkou pro udělení zápočtu je zisk alespoň 10 bodů.

ZKOUŠKA: Zkouška je písemná a skládá se z praktické a z teoretické části. V praktické části studenti řeší číselné příklady užitím kalkulačky, v teoretické části pak zodpoví několik otázek, které prověří, jak pochopili podstatu probrané látky. Do klasifikačního hodnocení se zahrnuje zejména výsledek písemné zkoušky, přičemž se může přihlížet i k výsledkům zápočtových testů a k případné rozpravě, která následuje po zkoušce.

Za zkoušku student obdrží 0 až 100 bodů.
KLASIFIKACE zkoušky: 100--90: A (výborně), 89--80: B (velmi dobře), 79--70: C (dobře), 69--60: D (uspokojivě), 59--50: E (dostatečně), 49--0: F (nevyhovující).

Účast na cvičení je kontrolovaná. Výuka probíhá podle týdenních plánů rozvrhů. Stanovení způsobu náhrady zameškané výuky je v kompetenci vedoucího cvičení.

Dvouhodinové přednášky.
1. Úvod do problematiky numerických metod: Chyby v numerických výpočtech. Reprezentace čísel v počítači. Podmíněnost úloh, stabilita algoritmů.
Řešení soustav lineárních rovnic: Gaussova eliminační metoda. LU rozklad. Výběr hlavních prvků.
2. Řešení soustav lineárních rovnic: Vliv zaokrouhlovacích chyb. Podmíněnost. Iterační metody (Jacobiova, Gaussova-Seidelova, SOR).
Aproximace funkcí: Lagrangeův, Newtonův a Hermitův interpolační polynom.
3. Aproximace funkcí: Interpolace po částech lineární, po částech kubická Hermitova. Kubický interpolační splajn. Metoda nejmenších čtverců.
4. Numerické derivování: Základní formule, Richardsonova extrapolace.
Numerické integrování: Základní formule (obdélníková, lichoběžníková, Simpsonova). Gaussovy formule. Složené formule. Adaptivní integrace.
5. Řešení jedné nelineární rovnice: metoda bisekce, Newtonova metoda, metoda sečen, metoda regula falsi, metoda inverzní kvadratické interpolace, metoda prosté iterace. Řešení soustav nelineárních rovnic: Newtonova metoda, metoda prosté iterace.
6. Jednorozměrná minimalizace: metoda zlatého řezu, metoda kvadratické interpolace.
Minimalizace funkcí více proměnných: Nelderova-Meadova metoda, Newtonova metoda.
7. Minimalizace funkcí více proměnných: metoda největšího spádu.

Cvičení probíhají na počítačové učebně. Program cvičení odpovídá tématům přednášek.