Matematická analýza III (FSI-SA3)

Akademický rok 2022/2023
Garant: prof. RNDr. Jan Čermák, CSc.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Cíle předmětu:
Cílem kurzu je seznámit studenty se základními pojmy teorie
obyčejných diferenciálních rovnic a teorie nekonečných řad. Úkolem
je naučit studenty elementární metody řešení diferenciálních rovnic
a jejich systémů a seznámit je s využitím nekonečných řad.
Výstupy studia a kompetence:
V kurzu Matematická analýza III studenti zvládnou elementární metody
řešení obyčejných diferenciálních rovnic prvního i vyšších řádů, včetně
lineárních systémů. Dále jsou seznámeni s kritérii konvergence řad, odhady zbytků řad a metodami rozvoje funkcí do mocninných a Fourierových řad.
Prerekvizity:
Lineární algebra, diferenciální a integrální počet funkcí jedné a více proměnných.
Obsah předmětu (anotace):
Předmět Matematická analýza III seznámí studenty oboru Matematické inženýrství se základy teorie nekonečných řad a obyčejných diferenciálních rovnic. Znalost teorie diferenciálních rovnic a metod jejich řešení je nezbytným předpokladem a nepostradatelným základem nejen pro další studium matematiky, ale i pro fyzikální a technické disciplíny. Nekonečné řady jsou důležitým prostředkem pro nejrůznější matematické a fyzikální výpočty, a mají četné praktické využití. Předmět zahrnuje následující témata:
Číselné řady. Funkční řady. Mocninné řady.
Taylorovy řady a rozvoje funkcí v Taylorovy řady. Fourierovy řady a rozvoje funkcí ve Fourierovy řady.
Obyčejné diferenciální rovnice. Diferenciální rovnice prvního řádu.
Lineární diferenciální rovnice vyšších řádů. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu. Teorie stability.
Metody vyučování:
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.
Způsob a kritéria hodnocení:
Podmínky udělení zápočtu: Aktivní účast ve cvičení. Splnění všech
podmínek průběžné kontroly znalostí. Získání minimálně poloviny všech možných 40 bodů z obou kontrolních prací, z nichž první se koná v sedmém a druhá ve dvanáctém výukovém týdnu. Pokud student tuto podmínku nesplní, lze v odůvodněných případech stanovit podmínku náhradní.

Zkouška: Zkouška prověřuje znalosti definic a vět (zejména schopnost
jejich užití na vybraných úlohách) a praktickou dovednost při řešení
příkladů. Zkouška je písemná a ústní, písemná část (90 minut) se skládá z 12 příkladů převážně testového charakteru.

Témata písemné části zkoušky: Číselné, funkční, mocninné a Fourierovy řady, ODR a jejich vlastnosti, řešení ODR metodou nekonečných řad a pomocí Laplaceovy transformace, ortogonální trajektorie, stabilita, autonomní systémy.

Do klasifikačního hodnocení se zahrnuje výsledek písemné zkoušky (maximálně 60 bodů) a hodnocení ze cvičení (maximálně 40 bodů).
Klasifikační hodnocení studenta: výborně (90-100 bodů), velmi dobře (80-89 bodů), dobře (70-79 bodů), uspokojivě (60-69 bodů), dostatečně (50-59 bodů), nevyhovující (0-49 bodů).
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
Účast na přednáškách je doporučená, účast na cvičeních je povinná a kontrolovaná. Výuka probíhá dle týdenních plánů rozvrhů. Stanovení způsobů náhrady zmeškané výuky je v kompetenci vedoucího cvičení.
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  13 × 3 hod. nepovinná                  
    Cvičení  11 × 3 hod. povinná                  
    Cvičení s počítačovou podporou  2 × 3 hod. nepovinná                  
Osnova:
    Přednáška 1. Číselné řady. Kritéria konvergence. Absolutní a neabsolutní konvergence.
2. Funkční a mocninné řady. Typy konvergence a základní vlastnosti.
3. Taylorovy řady a rozvoje funkcí v Taylorovy řady.
4. Fourierovy řady. Otázky konvergence a rozvoje funkcí.
5. ODR. Základní pojmy. Počáteční a okrajový problém.
6. Analytické metody řešení ODR 1. řádu. Otázka existence a jednoznačnosti řešení.
7. ODR vyššího řádu. Vlastnosti a metody řešení homogenní lineární ODR vyššího řádu.
8. Vlastnosti a metody řešení nehomogenní lineární ODR vyššího řádu.
9. Laplaceova transformace a její užití při řešení lineární ODR. Metoda nekonečných řad.
10. Okrajový problém pro ODR 2. řádu.
11. Soustavy ODR 1. řádu. Vlastnosti a metody řešení homogenních lineárních soustav 1. řádu.
12. Vlastnosti a metody řešení nehomogenních lineárních soustav 1. řádu
13. Stabilita řešení ODR, autonomní systémy, bifurkace, chaos.
    Cvičení 1. Limity a integrály-opakování.
2. Číselné řady.
3. Funkční řady.
4. Mocninné řady.
5. Taylorovy řady.
6. Fourierovy řady.
7. Analytické metody řešení ODR 1. řádu.
8. Aplikace ODR1.
9. Homogenní lineární ODR vyššího řádu.
10. Nehomogenní lineární ODR vyššího řádu.
11. Aplikace lineárních ODR vyššího řádu.
12. Homogenní soustavy lineárních ODR 1. řádu.
13. Nehomogenní soustavy lineárních ODR 1. řádu.
    Cvičení s počítačovou podporou Cvičení probíhá na bázi programu MAPLE v počítačové učebně. Tento typ výuky je zaměřen na počítačovou podporu zejména následujících témat: 1. Funkční řady - grafické ilustrace typů konvergence u probíraných řad (se zaměřením na řady Taylorovy a Fourierovy). 2. ODR - grafické metody řešení (směrová pole), geometrická interpretace jednotlivých typů řešení (fázový portrét řešení), metoda Taylorových řad, geometrické aplikace (ortogonální trajektorie a další).
Literatura - základní:
1. Fichtengolc, G.M.: Kurs differencialnogo i integralnogo isčislenija, tom II, Moskva, 1966.
2. Fichtengolc, G.M.: Kurs differencialnogo i integralnogo isčislenija, tom III, Moskva, 1966.
3. Hartman, P.: Ordinary differential equations, New York, 1964.
Literatura - doporučená:
1. Kalas, J., Ráb, M.: Obyčejné diferenciální rovnice, Brno, 1995.
2. Čermák, J., Nechvátal, L.: Matematika III, Brno, 2016.
3. Ženíšek, A.: Vybrané kapitoly z matematické analýzy, Brno, 1997.
4. Čermák, J.: Sbírka příkladů z Matematické analýzy III a IV, Brno, 1998.
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
CŽV prezenční studium CZV Základy strojního inženýrství -- zá,zk 7 Povinný 1 1 Z
B-FIN-P prezenční studium --- bez specializace -- zá,zk 7 Povinný 1 2 Z
B-MAI-P prezenční studium --- bez specializace -- zá,zk 7 Povinný 1 2 Z