Numerická matematika I (FSI-9NM1)

Akademický rok 2022/2023
Garant: doc. Ing. Petr Tomášek, Ph.D.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština či angličtina
Cíle předmětu:
Cílem kurzu je seznámit studenty s numerickými metodami lineární algebry, s řešením nelineárních rovnic a s metodami interpolace, numerického derivování a integrování.
Výstupy studia a kompetence:
Studenti získají základní znalosti z numerických metod lineární algebry, nelineárních rovnic, interpolace, derivování a integrování. To jim umožní, aby si správně vybrali z neobyčejně široké nabídky hotových programů nabízených na trhu (výjimečně aby si takový program sami napsali) a aby tyto programy uměli s rozmyslem a efektivně používat při řešemí svých specifických technických problémů.
Prerekvizity:
Lineární algebra, vektorový počet, integrální a diferenciální počet.
Obsah předmětu (anotace):
Úvodní kurz numerických metod se věnuje následujícím tématům: numerické výpočty, přímé a iterační metody řešení lineárních rovnic, interpolace, metoda nejmenších čtverců, numerické derivování a integrování, nelineární rovnice, výpočet vlastních čísel a vektorů.
Metody vyučování:
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny.
Způsob a kritéria hodnocení:
Zkouška je ústní. U zkoušky jsou položeny tři otázky, jedna otázka z okruhu lineární algebry, druhá z nelineárních rovnic a třetí z okruhu interpolace, derivování a integrování.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
Účast na přednáškách je žádoucí, účast ve cvičeních je povinná. Výuka probíhá podle týdenních rozvrhů. Způsob náhrady zameškané výuky je plně v kompetenci cvičícího.
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  10 × 2 hod. nepovinná                  
Osnova:
    Přednáška Předmět má 10 dvouhodinových přednášek.
1. Úvod do numerické matematiky: základní vlastnosti matic, chyby, podmíněnost problémů a algoritmů.
2. Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic: Gaussova eliminační metoda, pivotování, LU-rozklad, Choleského rozklad, podmíněnost.
3. Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic: klasické iterační metody (Jacobiova, Gaussova-Seidelova, SOR, SSOR), zobecněná metoda minimálních reziduí, metoda sdružených gradientů.
4. Interpolace: Lagrangeův, Newtonův a Hermitův interpolační polynom, interpolační splajny.
5. Metoda nejmenších čtverců: prokládání dat křivkami, řešení přeurčených soustav lineárních rovnic (QR rozklad, pseudoinverze, metody ortogonalizace).
6. Numerické derivování: základní formule, Richardsonova extrapolace.
7. Numerické integrování: Newtonovy-Cotesovy formule, Gaussovy formule, adaptivní integrace.
8. Řešení nelineárních rovnic: jedna rovnice (metoda bisekce, Newtonova metoda, metoda sečen, metoda regula falsi, metoda inverzní kvadratické interpolace, Brentova metoda); soustavy nelineárních rovnic (Newtonova metoda a její modifikace, metoda prosté iterace).
9. Vlasní čísla a vlastní vektory: mocninná metoda, QR metoda.
10. Vlasní čísla a vlastní vektory: Arnoldiho metoda, Jacobiho metoda, metoda bisekce, výpočet singulárního rozkladu.
Literatura - základní:
1. HEATH, M. T. Scientific Computing. An Introductory Survey. 2nd ed. New York: McGraw-Hill, 2002.
2. MOLER, C. B. Numerical Computing with Matlab. Philadelphia: SIAM, 2004. 
3. DAHLQUIST, G., BJÖRK, Å. Numerical Methods. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1974.
4. QUARTERONI, A., SACCO, R., SALERI, F. Numerical Mathematics. New York: Springer-Verlag, 2000.
5. C.F. Van Loan, G.H. Golub: Matrix Computations, 3th ed., the Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996.
Literatura - doporučená:
1. ČERMÁK, L., HLAVIČKA, R. Numerické metody. Učební text FSI VUT Brno. Brno: CERM, 2016.
2. ČERMÁK, L. Vybrané statě z numerických metod [online]. Brno: FSI VUT.
3. RALSTON, A. R. Základy numerické matematiky. Praha: Academia, 1973.
4. VITÁSEK, E. Numerické metody. Praha: SNTL, 1987.
5. K. Rektorys: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha, 1995
6. I. Horová, J. Zelinka: Numerické metody, učební text Masarykovy univerzity, Brno, 2004.
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
D-ENE-P prezenční studium --- bez specializace -- drzk 0 Doporučený kurs 3 1 Z
D-ENE-K kombinované studium --- bez specializace -- drzk 0 Doporučený kurs 3 1 Z