Obecná algebra (FSI-SOA)

Akademický rok 2022/2023
Garant: prof. RNDr. Josef Šlapal, CSc.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Typ předmětu: oborový předmět, aplikační základ
Cíle předmětu:
Cílem předmětu je seznámit studenty se základy moderní algebry, tj. se základními algebraickými strukturami a jejich vlastnostmi. Tyto struktury se často vyskytují v nejrůznějších aplikacích, zejméne technických, a jejich znalost je proto pro absolventy oboru matematické inženýrství nezbytná.
Výstupy studia a kompetence:
Studenti získají základní vědomosti o obecné algebře. Tyto vědomosti jim umožní uvědomit si mnohé matematické souvislosti, a proto hlouběji pochopit různá odvětví matematiky. Především všek získají užitečné nástroje k nejrůznějším aplikacím, kterými se mohou v budoucnu ve své praxi zabývat.
Prerekvizity:
Předpokládají se znalosti lineární algebry z prvního semestru bakalářského studia.
Obsah předmětu (anotace):
V předmětu budou probrány základy moderní algebry. Budou popsány obecné vlastnosti univerzálních algeber, podrobně pak budou studovány jednotlivé algebraických struktury, tj. grupoidy, pologrupy, monoidy, grupy, okruhy, obory integrity a tělesa. Zvláštní pozornost bude věnována především grupám, okruhům (především okruhu polynomů), oborům integrity a konečným (Galoisovým) tělesům.
Metody vyučování:
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie obecné algebry. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách formou příkladů a také seznámení se s algebraickým software.
Způsob a kritéria hodnocení:
Podmínkou pro zápočet je aktivní účast ve cvičeních a prokázání znalostí
při písemných testech, které budou průběžně konány. V písemné části
zkoušky je třeba prokázat schopnost řešit zadaný problém na základě
získaných vědomostí, v její ústní části pan zvládnutí probrané teorie.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
Účast na cvičeních bude pravidelně kontrolována. Omluvená neúčast bude nahrazována zadáním samostatné práce tak, aby student mohl zameškanou látku zvládnout.
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  13 × 2 hod. nepovinná                  
    Cvičení  11 × 2 hod. povinná                  
    Cvičení s počítačovou podporou  2 × 2 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška 1. Operace a zákony, pojem univerzální algebry
2. Některé důležité typy algeber, základy teorie grup
3. Podalgebry, rozklad grupy podle podgrupy
4. Homomorfismy a izomorfismy
5. Kongruence a faktorové algebry
6. Kongruence na grupách a okruzích
7. Přímé součiny algeber
8. Okruh polynomů
9. Obory integrity a dělitelnost, Gaussovy okruhy
10. Okruhy hlavních ideálů a Euklidovy okruhy
11. Podílová pole oboru integrity a minimální pole,
12.Kořenová pole a rozšíření pole
13. Rozkladová pole a Galoisova pole
    Cvičení 1. Operace a zákony, pojem univerzální algebry
2. Některé důležité typy algeber, základy teorie grup
3. Podalgebry, rozklad grupy podle podgrupy
4. Homomorfismy a izomorfismy
5. Kongruence a faktorové algebry
6 Kongruence na grupách a okruzích
7. Přímé součiny algeber
8. Okruh polynomů
9. Obory integrity a dělitelnost, Gaussovy okruhy
10. Okruhy hlavních ideálů a Euklidovy okruhy
11. Podílová pole oboru integrity a minimální pole,
12.Kořenová pole a rozšíření pole
13. Rozkladová pole a Galoisova pole
    Cvičení s počítačovou podporou 1. Užití programu Maple pro počítání úloh obecné algebry
2. Užití programu Mathematica pro počítání úloh obecné algebry
Literatura - základní:
1. S.Lang, Undergraduate Algebra, Springer-Verlag,1990
2. G.Gratzer: Universal Algebra, Princeton, 1968
3. S.MacLane, G.Birkhoff: Algebra, Alfa, Bratislava, 1973
4. J. Karásek and L. Skula, Obecná algebra (skriptum), Akademické nakladatelství CERM, Brno 2008
5. J.Šlapal, Základy obecné algebry (skriptum), Akademické nakladatelství CERM, Brno 2022.
6. Procházka a kol., Algebra, Academia, Praha, 1990
Literatura - doporučená:
1. L.Procházka a kol.: Algebra, Academia, Praha, 1990
2. A.G.Kuroš, Kapitoly z obecné algebry, Academia, Praha, 1977
3. S. MacLane a G. Birkhoff, Algebra, Vyd. tech. a ekon. lit., Bratislava, 1973
4. S. Lang, Undergraduate Algebra (2nd Ed.), Springer-Verlag, New York-Berlin-Heidelberg, 1990
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
CŽV prezenční studium CZV Základy strojního inženýrství -- zá,zk 5 Povinný 1 1 L
MITAI prezenční studium NEMB do 2021/22 Vestavěné systémy -- zá,zk 5 Volitelný 1 0 L
B-MAI-P prezenční studium --- bez specializace -- zá,zk 5 Povinný 1 1 L
MITAI prezenční studium NMAT Matematické metody -- zá,zk 5 Povinný 1 0 L
MITAI prezenční studium NADE Vývoj aplikací -- zá,zk 5 Volitelný 1 0 L
MITAI prezenční studium NBIO Bioinformatika a biocomputing -- zá,zk 5 Volitelný 1 0 L
MITAI prezenční studium NCPS Kyberfyzikální systémy -- zá,zk 5 Volitelný 1 0 L
MITAI prezenční studium NEMB Vestavěné systémy -- zá,zk 5 Volitelný 1 0 L
MITAI prezenční studium NGRI Počítačová grafika a interakce -- zá,zk 5 Volitelný 1 0 L
MITAI prezenční studium NHPC Superpočítání -- zá,zk 5 Volitelný 1 0 L
MITAI prezenční studium NIDE Inteligentní zařízení -- zá,zk 5 Volitelný 1 0 L
MITAI prezenční studium NISD Informační systémy a databáze -- zá,zk 5 Volitelný 1 0 L
MITAI prezenční studium NISY Inteligentní systémy -- zá,zk 5 Volitelný 1 0 L
MITAI prezenční studium NISY do 2020/21 Inteligentní systémy -- zá,zk 5 Volitelný 1 0 L
MITAI prezenční studium NMAL Strojové učení -- zá,zk 5 Volitelný 1 0 L
MITAI prezenční studium NNET Počítačové sítě -- zá,zk 5 Volitelný 1 0 L
MITAI prezenční studium NSEC Kybernetická bezpečnost -- zá,zk 5 Volitelný 1 0 L
MITAI prezenční studium NSEN Softwarové inženýrství -- zá,zk 5 Volitelný 1 0 L
MITAI prezenční studium NSPE Zpracování zvuku, řeči a přirozeného jazyka -- zá,zk 5 Volitelný 1 0 L
MITAI prezenční studium NVER Verifikace a testování software -- zá,zk 5 Volitelný 1 0 L
MITAI prezenční studium NVIZ Počítačové vidění -- zá,zk 5 Volitelný 1 0 L