Funkcionální analýza I (FSI-SU1)

Akademický rok 2022/2023
Garant: prof. Mgr. Pavel Řehák, Ph.D.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Cíle předmětu:
Seznámit studenty a naučit je pracovat se základními pojmy a postupy funkcionální analýzy, které jsou využívány v dalších matematických disciplínách.
Výstupy studia a kompetence:
Základní znalost metrických, lineárních normovaných a unitárních prostorů, elementů Lebesgueova integrálu, teorie lineárních funkcionálů a souvisejících pojmů. Schopnost získané poznatky využívat.
Prerekvizity:
Diferenciální počet, integrální počet, diferenciální rovnice, lineární algebra, elementy teorie množin, elementy numerické matematiky.
Obsah předmětu (anotace):
V předmětu se diskutují základní pojmy a principy funkcionální analýzy týkající se především metrických prostorů, lineárních normovaných prostorů (speciálně Banachových) a unitárních prostorů (speciálně Hilbertových). Zmíněny jsou i elementy Lebesgueova integrálu. Dále je ukázáno využití těchto pojmů při řešení některých úloh matematické analýzy a numerické matematiky.
Metody vyučování:
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu teoretického základu a základních principů dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.
Způsob a kritéria hodnocení:
Zápočet: aktivní účast ve cvičeních (účast je povinná), úspěšné napsání testu.
Zkouška: Zkouška má ústní formu. Diskutována je teorie i příklady. Vyžaduje se orientace v probraných základních pojmech a principech disciplíny a ilustrace teorie v konkrétních situacích.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
Bude kontrolována účast na cvičeních. V průběhu semestru bude psán test.
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  13 × 2 hod. nepovinná                  
    Cvičení  13 × 2 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška Metrické prostory
Základní pojmy a fakta. Uzavřené a otevřené množiny. Konvergence. Separabilní metrické prostory.
Úplné metrické prostory.
Zobrazení metrických prostorů. Banachova věta o pevném bodu. Aplikace.
Kompaktní prostory. Prekompaktnost a relativní kompaktnost. Arzeláova-Ascoliho věta.
Příklady.

Elementy teorie míry a integrálu
Motivace. Lebesgueova míra. Měřitelné funkce. Lebesgueův integrál.
Základní vlastnosti. Věty o limitních přechodech.
Lebesgueovy prostory.
Příklady.

Normované lineární prostory
Základní pojmy a fakta. Banachovy prostory.
Izometrie. Homeomorfismus.
Vliv dimenze prostoru.
Nekonečné řady v Banachových prostorech.
Schauderova věta a aplikace.
Příklady.

Unitární prostory
Základní pojmy a fakta. Hilbertovy prostory.
Izometrie. Ortogonalita. Ortogonální projekce,
Obecné Fourierovy řady. Rieszova-Fischerova věta.
Separabilní Hilbertovy prostory.
Příklady.

Lineární funkcionály, duální prostory
Pojem lineárního funkcionálu. Lineární funkcionály v normovaném prostoru.
Spojité a ohraničené funkcionály.
Hahnova-Banachova věta a její důsledky.
Duální prostor. Reflexivita.
Banachova-Steinhausova věta a její důsledky.
Slabá konvergence.
Příklady.

Speciální typy prostorů (v rámci probírané teorie), zejména prostory posloupností, prostory spojitých funkcí, prostory integrovatelných funkcí. Některé nerovnosti.
    Cvičení Procvičování látky z přednášek zejména na konkrétních příkladech prostorů konečné dimenze, prostorů posloupností a prostorů spojitých a integrovatelných funkcí.
Literatura - základní:
1. F. Burk, Lebesgue measure and integration: An introduction, Wiley 1998.
2. C. Costara, D. Popa, Exercises in functional analysis, Kluwer 2003.
3. Z. Došlá, O. Došlý, Metrické prostory: teorie a příklady, PřF MU Brno 2006.
4. D. Farenick, Fundamentals of functional analysis, Springer 2016.
5. J. Franců, Funkcionální analýza 1, FSI VUT 2014.
6. D. H. Griffel, Applied functional analysis, Dover 2002.
7. A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, SNTL, Praha 1975.
9. J. Lukeš, Zápisky z funkcionální analýzy, Karolinum 1998.
10. I. Netuka, Základy moderní analýzy, MatfyzPress 2014.
11. B. Rynne, M. Youngson, Linear functional analysis, Springer 2008.
14. A. Torchinsky, Problems in real and functional analysis, American Mathematical Society 2015.
15. E. Zeidler, Applied functional analysis: Main principles and their applications, Springer, 1995.
Literatura - doporučená:
1. A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, SNTL, Praha 1975.
2. I. Netuka, Základy moderní analýzy, MatfyzPress 2014.
3. J. Franců, Funkcionální analýza 1, FSI VUT 2014.
4. D. Farenick, Fundamentals of functional analysis, Springer 2016.
5. D. H. Griffel, Applied functional analysis, Dover 2002.
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
CŽV prezenční studium CZV Základy strojního inženýrství -- zá,zk 5 Povinný 1 1 L
B-MAI-P prezenční studium --- bez specializace -- zá,zk 5 Povinný 1 2 L