Mathematical Analysis (FSI-UMA-A)

Akademický rok 2022/2023
Garant: doc. Ing. Jiří Šremr, Ph.D.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: angličtina
Cíle předmětu:

Cílem předmětu je seznámit studenty se základními pojmy a metodami řešení soustav obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu a jejich speciálních případů, se základy teorie stability řešení autonomních soustav a s dalšími vybranými tématy z teorie obyčejných diferenciálních rovnic. Cílem předmětu je také ukázat, že poznatky z teorie obyčejných diferenciálních rovnic se velmi často uplatňují ve fyzice, technické mechanice i jiných oborech.

Výstupy studia a kompetence:

Po absolvování předmětu studenti zvládnou analyticky řešit obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů a soustavy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu. Budou schopni posoudit otázku stability ekvilibrií (singulárních bodů) nelineárních autonomních soustav. Na vybraných úlohách z fyziky, mechaniky i jiných disciplín se seznámí s možnostmi matematického modelování pomocí obyčejných diferenciálních rovnic a s analýzou získaných rovnic.

Prerekvizity:

Lineární algebra, diferenciální počet funkcí jedné a více proměnných, integrální počet funkcí jedné proměnné, obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu.

Obsah předmětu (anotace):

Předmět má seznámit studenty se základy teorie diferenciálních rovnic a dynamických systémů. Tyto poznatky tvoří teoretický základ potřebný pro matematické modelování ve fyzice, mechanice a jiných technických oborech.

Metody vyučování:

Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení jsou zaměřena na praktické zvládnutí látky probírané na přednáškách.

Způsob a kritéria hodnocení:

Podmínky udělení zápočtu: Semestrální práce obsahující řešení zadaných úloh; práce bude hodnocena. Aktivní účast ve cvičeních (pokud kurz neprobíhá formou konzultací).

Zkouška: Zkouška prověřuje znalosti definic a vět (zejména schopnost jejich užití na vybraných úlohách) a praktickou dovednost při řešení příkladů. Zkouška se skládá z písemné a ústní části.

Do klasifikačního hodnocení se zahrnuje výsledek hodnocení semestrální práce (max. 15 bodů), výsledek písemného testu (max. 75 bodů) a hodnocení diskuze nad testem (max. 10 bodů).

Klasifikační hodnocení studenta: výborně (90-100 bodů), velmi dobře (80-89 bodů), dobře (70-79 bodů), uspokojivě (60-69 bodů), dostatečně (50-59 bodů), nevyhovující (0-49 bodů).

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:

Účast na přednáškách je doporučená, účast na cvičeních je povinná a kontrolovaná. Stanovení způsobů náhrady zmeškané výuky je v kompetenci vyučujícího.

Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  13 × 3 hod. nepovinná                  
    Cvičení  13 × 2 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška

1. Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu (opakování). Obyčejné diferenciální rovnice (ODR) vyšších řádů. Základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy. Obecné řešení homogenních a nehomogenních lineárních rovnic.


2. Metody řešení homogenních lineárních ODR vyšších řádů s konstantními koeficienty.
Řešení nehomogenních lineárních ODR vyšších řádů - metoda variace konstant.


3. Řešení nehomogenních lineárních ODR vyšších řádů s konstantními koeficienty - metoda neurčitých koeficientů.


4. Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu. Základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy. Obecné řešení homogenních a nehomogenních lineárních soustav.


5. Metody řešení homogenních lineárních soustav ODR s konstantními koeficienty.


6. Řešení nehomogenních lineárních soustav ODR - metoda variace konstant.


7. Řešení nehomogenních lineárních soustav ODR s konstantními koeficienty - metoda neurčitých koeficientů.


8. Stabilita řešení obyčejných diferenciálních rovnic a jejich soustav. Základní pojmy. Stabilita lineárních soustav ODR s konstantními koeficienty.


9. Autonomní soustavy ODR prvního řádu. Orbita a fázový portrét. Ekvilibrium a jeho stabilita. Linearizace.


10. Dvoudimenzionální lineární soustavy ODR s konstantní regulární maticí. Klasifikace ekvilibrií.


11. Dvoudimenzionální autonomní nelineární soustavy ODR. Topologická ekvivalence.


12. Matematické modelování v mechanice a biologii.


13. Další vybraná témata z teorie obyčejných diferenciálních rovnic.

    Cvičení

1. Obyčejné diferenciální rovnice (ODR) 1. řádu (opakování). Analytické metody řešení ODR vyšších řádů.


2. Analytické metody řešení ODR vyšších řádů - pokračování.


3. Analytické metody řešení ODR vyšších řádů - pokračování.


4. Analytické metody řešení soustav ODR prvního řádu.


5. Analytické metody řešení soustav ODR prvního řádu - pokračování.


6. Analytické metody řešení soustav ODR prvního řádu - pokračování.


7. Analytické metody řešení soustav ODR prvního řádu - pokračování.


8. Stabilita lineárních soustav ODR s konstantními koeficienty.


9. Autonomní soustavy ODR prvního řádu.


10. Dvoudimenzionální lineární soustavy ODR s konstantní regulární maticí.

11. Dvoudimenzionální autonomní nelineární soustavy ODR.


12. Matematické modelování v mechanice a biologii.


13. Další vybraná témata z teorie obyčejných diferenciálních rovnic.

Literatura - základní:
1. W. E. Boyce, R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations, 9th Edition, Wiley, 2008.
2. L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Text in Applied Mathematics, 7, Springer-Verlag, New York, 2001.
Literatura - doporučená:
1. W. E. Boyce, R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations, 9th Edition, Wiley, 2008.
2. L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Text in Applied Mathematics, 7, Springer-Verlag, New York, 2001.
3. J. Stewart, Calculus, 7th Edition, Cengage Learning, 2012.
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
CŽV prezenční studium CZV Základy strojního inženýrství -- zá,zk 7 Povinný 1 1 Z
N-ENG-A prezenční studium --- bez specializace -- zá,zk 7 Povinný 2 1 Z