Mathematical Analysis (FSI-UMA-A)

Cílem předmětu je seznámit studenty se základními pojmy a metodami řešení soustav obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu a jejich speciálních případů, se základy teorie stability řešení autonomních soustav a s dalšími vybranými tématy z teorie obyčejných diferenciálních rovnic. Cílem předmětu je také ukázat, že poznatky z teorie obyčejných diferenciálních rovnic se velmi často uplatňují ve fyzice, technické mechanice i jiných oborech.

Po absolvování předmětu studenti zvládnou analyticky řešit obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů a soustavy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu. Budou schopni posoudit otázku stability ekvilibrií (singulárních bodů) nelineárních autonomních soustav. Na vybraných úlohách z fyziky, mechaniky i jiných disciplín se seznámí s možnostmi matematického modelování pomocí obyčejných diferenciálních rovnic a s analýzou získaných rovnic.

Lineární algebra, diferenciální počet funkcí jedné a více proměnných, integrální počet funkcí jedné proměnné, obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu.

Předmět má seznámit studenty se základy teorie diferenciálních rovnic a dynamických systémů. Tyto poznatky tvoří teoretický základ potřebný pro matematické modelování ve fyzice, mechanice a jiných technických oborech.

Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení jsou zaměřena na praktické zvládnutí látky probírané na přednáškách.

Podmínky udělení zápočtu: Semestrální práce obsahující řešení zadaných úloh; práce bude hodnocena. Aktivní účast ve cvičeních (pokud kurz neprobíhá formou konzultací).

Zkouška: Zkouška prověřuje znalosti definic a vět (zejména schopnost jejich užití na vybraných úlohách) a praktickou dovednost při řešení příkladů. Zkouška se skládá z písemné a ústní části.

Do klasifikačního hodnocení se zahrnuje výsledek hodnocení semestrální práce (max. 15 bodů), výsledek písemného testu (max. 75 bodů) a hodnocení diskuze nad testem (max. 10 bodů).

Klasifikační hodnocení studenta: výborně (90-100 bodů), velmi dobře (80-89 bodů), dobře (70-79 bodů), uspokojivě (60-69 bodů), dostatečně (50-59 bodů), nevyhovující (0-49 bodů).

Účast na přednáškách je doporučená, účast na cvičeních je povinná a kontrolovaná. Stanovení způsobů náhrady zmeškané výuky je v kompetenci vyučujícího.

1. Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu (opakování). Obyčejné diferenciální rovnice (ODR) vyšších řádů. Základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy. Obecné řešení homogenních a nehomogenních lineárních rovnic.

2. Metody řešení homogenních lineárních ODR vyšších řádů s konstantními koeficienty.
Řešení nehomogenních lineárních ODR vyšších řádů - metoda variace konstant.

3. Řešení nehomogenních lineárních ODR vyšších řádů s konstantními koeficienty - metoda neurčitých koeficientů.

4. Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu. Základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy. Obecné řešení homogenních a nehomogenních lineárních soustav.

5. Metody řešení homogenních lineárních soustav ODR s konstantními koeficienty.

6. Řešení nehomogenních lineárních soustav ODR - metoda variace konstant.

7. Řešení nehomogenních lineárních soustav ODR s konstantními koeficienty - metoda neurčitých koeficientů.

8. Stabilita řešení obyčejných diferenciálních rovnic a jejich soustav. Základní pojmy. Stabilita lineárních soustav ODR s konstantními koeficienty.

9. Autonomní soustavy ODR prvního řádu. Orbita a fázový portrét. Ekvilibrium a jeho stabilita. Linearizace.

10. Dvoudimenzionální lineární soustavy ODR s konstantní regulární maticí. Klasifikace ekvilibrií.

11. Dvoudimenzionální autonomní nelineární soustavy ODR. Topologická ekvivalence.

12. Matematické modelování v mechanice a biologii.

13. Další vybraná témata z teorie obyčejných diferenciálních rovnic.

1. Obyčejné diferenciální rovnice (ODR) 1. řádu (opakování). Analytické metody řešení ODR vyšších řádů.

2. Analytické metody řešení ODR vyšších řádů - pokračování.

3. Analytické metody řešení ODR vyšších řádů - pokračování.

4. Analytické metody řešení soustav ODR prvního řádu.

5. Analytické metody řešení soustav ODR prvního řádu - pokračování.

6. Analytické metody řešení soustav ODR prvního řádu - pokračování.

7. Analytické metody řešení soustav ODR prvního řádu - pokračování.

8. Stabilita lineárních soustav ODR s konstantními koeficienty.

9. Autonomní soustavy ODR prvního řádu.

10. Dvoudimenzionální lineární soustavy ODR s konstantní regulární maticí.

11. Dvoudimenzionální autonomní nelineární soustavy ODR.

12. Matematické modelování v mechanice a biologii.

13. Další vybraná témata z teorie obyčejných diferenciálních rovnic.