Funkcionální analýza a prostory funkcí (FSI-9FAP)

Akademický rok 2022/2023
Garant: prof. RNDr. Jan Franců, CSc.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština či angličtina
Cíle předmětu:
Seznámit studenty se základy funkcionální analýzy a teorie prostorů funkcí a jejich využitím při analýze úloh matematické fyziky.
Výstupy studia a kompetence:
Znalost základních pojmů metrických, lineárních normovaných a unitárních prostorů, Lebesgueova integrálu a schopnost tyto pojmy využívat.
Prerekvizity:
Diferenciální a integrální počet, numerické metody, obyčejné diferenciální rovnice.
Obsah předmětu (anotace):
Předmět se zabývá základní pojmy funkcionální analýzy a prostorů funkcí a jejich využitím při analýze úloh matematické fyziky.
Metody vyučování:
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny.
Způsob a kritéria hodnocení:
Zkouška se skládá z praktické a teoretické čáasti. V praktická části jde o ilustraci pojmů na konkrétních příkladech. Teoretická část: otázky z přednesené látky.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
V případě absence student si musí doplnit zameškanou látku samostudiem ze skript.
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  10 × 2 hod. nepovinná                  
Osnova:
    Přednáška 1. Metrika a metrické prostory, příklady.
2. Lineární a normované lineární prostory, Banachovy prostory.
3. Skalární součin a Hilbertovy prostory.
4. Příklady prostorů: R^n, C^n, prostory posloupností, spojitých a integrovatelných funkcí.
5. Základy Lebesgueova integrálu, Lebesgueovy prostory.
6. Zobecněné derivace, Soboleovy prostory.
7. Stopy funkcí. Věta o stopách.
8. Věty o vnoření. Věta o hustotě.
9. Lax-Milgramova věta a její aplikace při řešitelnosti diferenciálních rovnic.
10. Vztahy mezi diferenciálními a integrálními rovnicemi.
Literatura - základní:
1. Rektorys, K.: Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky. SNTL, Praha, 1974.
2. Kufner, A., John, O., Fučík, S.: Function spaces. Academia, Praha, 1977.
3. Nečas, J.: Direct Methods in the Theory of Elliptic Equations, Springer, Heidelberg 2012.
4. Yosida, K. : Functional analysis, Springer, Berlin, 1965
5. Ženíšek, A.: Nonlinear elliptic and evolution problems and their finite element approximations. Academic Press, London, 1990.
Literatura - doporučená:
1. Franců, J.: Funkcionální analýza 1, Akad. nakl. CERM, Brno 2014
2. Čech, E.: Bodové množiny, Academia, Praha, 1974, 288 stran
3. Kolmogorov, A. N., Fomin, S. V. : Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy SNTL, Praha 1975.
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
D-APM-K kombinované studium --- bez specializace -- drzk 0 Doporučený kurs 3 1 L
D-APM-P prezenční studium --- bez specializace -- drzk 0 Doporučený kurs 3 1 L