Matematika pro aplikace (FSI-9MPA)

Akademický rok 2022/2023
Garant: doc. Mgr. Jaroslav Hrdina, Ph.D.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština či angličtina
Cíle předmětu:
Cílem předmětu je shrnutí, rozšíření a prohloubení znalostí matematiky z bakalářského a magisterského studia se zaměřením na aplikace, zejména ve fyzikálním inženýrství.
Výstupy studia a kompetence:
Studenti se seznámí se širokým okruhem matematických pojmů, které vystupují ve fyzikálních aplikacích, a to jak z oblasti matematické analýzy, tak algebry. Obeznámí se s derivacemi a parciálními derivacemi a jejich užitím při vyšetřování extrémů. Dalším tématem je neurčitý, určitý a vícerozměrný integrál v pojetí Riemannově a Lebesgueově. Dále budou na programu funkce komplexní proměnné. V neposlední řadě si studenti zrevidují důležité pojmy z lineární algebry.
Prerekvizity:
Lineární algebra, diferenciální a integraální počet.
Obsah předmětu (anotace):
Výklad bude směřovat napříč tradiční klasifikací matematických disciplín tak, aby respektoval potřeby a přání posluchačů. Bude veden interaktivní formou tak, aby přednášející mohl reagovat na podněty studentů. Globální pohled na problematiku umožní studentům vidět souvislosti mezi zdánlivě odlehlými odvětvími matematiky.
Metody vyučování:
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny.
Způsob a kritéria hodnocení:
Předmět je ukončen zkouškou, která je ústní. Prověřuje se u ní znalost definic, vět a algoritmů a schopnost jejich užití na konkrétních aplikacích.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
Účast na přednáškách je doporučená. Výuka probíhá podle týdenních rozvrhů. Je možné studovat individuálně podle doporučené literatury s využitím konzultací.
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  10 × 2 hod. nepovinná                  
Osnova:
    Přednáška (výběr bude vycházet ze zaměření doktorandů)

Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné
- Derivace, její geometrický a fyzikální význam
- Průběh funkce
- Taylorova řada
- Primitivní funkce
- Výpočet integrálů metodou substituční a per partes
- Riemanův určitý integrál - geometrický a fyzikální význam
- Lebesgueův integrál
- Delta funkce a teorie distribucí

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných
- Parciální derivace
- Totální diferenciál - aplikace ve fyzice
- Extrémy a sedlové body
- Diferenciální operátory gradient, divergence, rotace, laplacián - aplikace ve fyzice
- Geometrický a fyzikální význam dvojného a trojného integrálu
- Transformace souřadnic - jakobián
- Křivkový integrál, nezávislost na integrační cestě
- Plošný integrál
- Greenova, Gaussova a Stokesova věta - aplikace ve fyzice

Řady
- Číselné řady
- Řady funkcí
- Fourierovy řady

Analýza v komplexním oboru
- Holomorfní funkce
- Integrál v komplexním oboru, Cauchyova věta
- Taylorovy a Laurentovy řady, teorie reziduí
- Hilbertova transformace

Diferenciální rovnice
- Obyčejné lineární diferenciální rovnice
- Systémy obyčejných lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty
- Parciální diferenciální rovnice (Fourierova metoda, metoda charakteristik)
- Speciální funkce
- Greenovy funkce

Algebra
- Systémy lineárních rovnic
- Matice a determinanty
- Polynomy a řešení algebraických rovnic v komplexním oboru
- Grupy

Elementy funkcionální analýzy
- Prostor metrický, vektorový, unitární a Hilbertův
- Prostory funkcí
- Ortogonální systémy, ortogonální transformace (Fourierova)

Elementy variačního počtu
Literatura - základní:
1. G. B. Arfken, V. J. Walker: Mathematical Methods for Physicists (4th ed.). Academic Press, 1995.
2. G. B. Thomas, R. L. Finney: Calculus and Analytic Geometry, Addison Wesley 2003
3. A. A. Howard: Elementary Linear Algebra, Wiley 2002
Literatura - doporučená:
1. J. Nedoma: Matematika I., Cerm 2001
2. J. Karásek: Matematika II., Cerm 2002
3. J. Karásek, L. Skula: Lineární algebra. Teoretická část, Cerm 2005
4. J. Karásek, L. Skula: Lineární algebra. Cvičení, Cerm 2005
5. J. Karásek, L. Skula: Obecná algebra, Cerm 2008
6. M. Druckmüller, A. Ženíšek: Funkce komplexní proměnné, PC-Dir 2000
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
D-FIN-K kombinované studium --- bez specializace -- drzk 0 Doporučený kurs 3 1 L
D-FIN-P prezenční studium --- bez specializace -- drzk 0 Doporučený kurs 3 1 L